מדע ושאר רוח

א. תודה לטל גלילי על התרגום! יש לבחור 'עברית' ואז ללחוץ על Start. צפייה במסך מלא - כאן

ב. אנימציה זו קבלה שאפו בבלוג של האסטרופיזיקאי איתן סיגל לא מעט בזכות הדיוק המדעי.

ג. על סדרי גודל כתבתי ב-מסע קוסמי כולל קליפ מרשים עם קריינות של מורגן פרימן.

ד. מצגת (להורדה) שהכנתי בנושא לאולימפיאדה הוירטואלית ברעננה.

ה. באותו עניין, מישהו זוכר את הספר ZOOM ?

הרבה בדיחות קשורות לצניחה ממטוס, אבל אנחנו נפתח דוקא בחידה. כאשר צנחן קופץ ממטוס, ברור שמהירותו כלפי מטה הולכת וגוברת. השאלה היא כיצד היא גוברת, או בניסוח אחר, איזה גרף מבין השלושה (א,ב,ג) מייצג נאמנה את שינוי מהירותו של הצנחן כתלות בזמן, וזאת לפני שהמצנח נפתח ?

גרף ג אינו הגיוני מכיוון שהמהירות אינה פוחתת כל עוד המצנח אינו נפתח. גרף ב מתאר מצב בו המהירות גוברת בקצב קבוע (או תאוצה קבועה) וזה בדיוק מה שהיה מתרחש אלמלא היה אוויר (למשל על הירח). גרף א, לעומת זאת מתאר מהירות גוברת עד לערך גבולי, והוא נאמן, ברמה העקרונית, למה שקורה בצניחה חופשית.

בניגוד לנפילה חופשית, בה הכוח היחידי הפועל על הגוף הוא כוח הכבידה, כאן מתווסף כוח נוסף הנקרא 'התנגדות אוויר' או גרר (drag). כוח זה פועל על כל גוף הנע במדיום גזי והוא נובע מההתנגשויות המקרוסקופיות הרבות של הגוף עם מולקולות הגז. בפועל, התנגדות האוויר תלויה בגורמים הבאים: מהירות הגוף, שטח החתך של הגוף (השטח הבא במגע עם זרימת האוויר),  הצורה האווירודינמית של הגוף וצפיפות האוויר (למתעניינים בביטוי המתמטי המדוייק - בבקשה).  אם כן, במקרה של נפילה, קיימת אינטראקציה בין שני כוחות היוצרים משחק מורכב ומעניין יותר מאשר במקרה הפשוט בו הגוף נופל בריק.

בתחילת הנפילה, כאשר המהירות יחסית נמוכה, התנגדות האוויר אינה משמעותית, כך שהכוח הדומיננטי הפועל הגוף הוא כוח הכבידה. כוח זה גורם לגוף להאיץ (ע"פ החוק השני של ניוטון), כך שמהירותו גוברת. עם גדילת המהירות, גדלה גם התנגדות האוויר, וכעת פועל על הגוף גם כוח הולך וגובר כלפי מעלה. בשלב מסויים, שני הכוחות ישתוו, ואז הכוח השקול (נטו) הפועל על הגוף יתאפס. זהו רגע מאוד מעניין שמשמעותו היא, שכעת הגוף לא משנה עוד את מהירותו; זוהי המהירות המקסימלית בתנאים הנתונים ועל כן היא נקראת מהירות טרמינלית או מהירות סופית.

המסקנה המתבקשת היא,  שכאשר גוף נופל באוויר – טיפת מים, מטבע, צנחן או מטאוריט – מהירותו אינה גדלה עד בלי די, אלא מגיעה לערך סופי ומוגדר התלוי בתכונות הגוף (מסה, שטח חתך וצורה אווירודינמית) ובצפיפות האוויר. למשל, כאשר צנחן נופל הוא יגיע למהירות טרמינלית של כ-200 קמ"ש. מהירות זו עשויה לגדול ב-25% אם הצנחן יצמיד את זרועותיו לגופו (שינוי שטח החתך) ויטה את עצמו כלפי מטה (שינוי הצורה האווירודנמית). כל זאת מומחש היטב בתוכנית מעולה על צניחה ששודרה בערוץ ההיסטוריה.

כעת נבדוק סיטואציה מעניינת. מה יקרה אם ניקח שני גופים זהים, שהאחד כבד פי שניים מרעהו ונפיל אותם ממגדל גבוה? האם שניהם יגיעו לאותה מהירות טרמינלית? אלו מאיתנו שלמדו פיזיקה, ימהרו אולי לקבוע שכן, בהתבסס על ניסויו של גלילאו שהטיל מראש פיזה (כך אומרים) כדורים במשקלים שונים וגילה שהם מגיעים באותו זמן (כמעט) לקרקע. האמת היא, שאם נבצע את ניסוי גלילאו מגובה רב מאוד (מאות מטרים) נגלה שהגוף הכבד מגיע למהירות גבוהה יותר!
זה לא שגלילאו טעה, אלא שתוצאותיו מתאימות לסיטואציה בה התנגדות האוויר זניחה. כאשר גוף כבד יותר, פירוש הדבר שהוא נמשך בכוח חזק יותר כלפי מטה. על מנת 'לאזן' כוח זה, נחוצה התנגדות אוויר גדולה יותר המושגת במהירות גבוהה יותר. כלומר, המהירות הטרמינלית של גוף גדלה עם מסתו. איך בדיוק? היות והבלוג מיועד לציבור הרחב, אינני נוהג לצרף נוסחאות מדוייקות, אבל כאן קצת קשה להתאפק. מי שמבין…יבין ויהנה (ראה משמעות המשתנים בויקיפדיה).

נסיים בקטע הפתיחה המרשים של Moonraker בו ג'ימס בונד נופל ממטוס ללא מצנח. האם מה שאנו רואים על המסך יכול היה להתרחש גם במציאות?

נשים לב ששינוי המהירות הטרמינלית מושג כאן בשתי דרכים שונות:
א. כאשר ג'ימס בונד משנה את  אוריאנטציית הגוף ובכך מגביר את מהירותו ביחס לטייס (שצונח בזרועות פרושות).
ב. כאשר צונח אחריו JAWS, הוא לא צריך לשנות את האוריאנטציה, ובצדק,  שכן המהירות הטרמינלית גדלה עם המסה.
שתי הדרכים, כאמור, עולות בקנה אחד עם עקרונות הפיזיקה. שאפו ליוצרי הסרט!

לינקים
נפילה חופשית עם מאיר אריאל
פיזיקה עם פולישוק
האם מטבע שנופל מגובה יכול להרוג בן אדם?
מהירות טרמינלית של צנחן – נתונים

בגליון החדש של "קריאת ביניים" מופיע מאמר שכתבתי אודות מדע בקולנוע ככלי מעשי ומלהיב עבור מורים בכיתות מדע.

לקישור ישיר למאמר הקליקו כאן,  ולהורדת המאמר בפורמט PDF – כאן

בשנה החולפת הרציתי בנושא בכנס מורי מדע וטכנולוגיה במכון ויצמן, בכנס במכללת אחווה, בפני מורים מהמגזר הדרוזי,  אנשי מכון דוידסון,  וכמובן בפני מאות תלמידים ברחבי הארץ. התגובות מאוד נלהבות, אבל נראה שעדיין יש עוד דרך לעבור עד שהנושא יכנס באופן משמעותי לכיתות הלימוד. ייתכן שהעניין הטכני מרתיע – מורים רבים אינם יודעים כיצד לחתוך קטעים מסרטים או לדלג למקום המתאים ב-DVD. כמו כן, שימוש במקרן ('ברקו') עדיין אינו נפוץ מספיק בבתי ספר. לדעתי, ניתן להתגבר על מכשולים אלו יחסית בקלות: במאמר צרפתי לינק לתוכנות חינמיות שעימן ניתן לעבוד, ורכישת מקרן היום היא עניין זול יחסית למחירים של פעם. אם כן, נחוצה רק מנה גדושה של מוטיבציה ואפשר לצאת לדרך!

'מדע בקולנוע' הוא פרוייקט שהחלוץ שלו בארץ הוא ניצן אונאל, מרצה ומדריך מחוננים, שהדביק אותי בהתלהבותו. אבל בעולם הרחב מדובר על כיוון שמזמן נכנס למיינסטרים בבתי ספר ובקולג'ים, שכן העושר הצבעוניות של עולם הקולנוע הם משאב שמורה מדעים פשוט אינו יכול לפספס!

לינקים
בבלוג זה פירסמתי דוגמאות לשימוש בסרטים בקונטקס של הוראת מדע: פיזיקה עם ספיידרמן , הביו-פיזיקה של קינג קונג, על אווטר ושאר רוח, ועוד היד נטויה. לינק מוצלח נוסף מתוך Popular Science ממחיש יפה את הפוטנציאל הרב הטמון בקולנוע להוראת פיזיקה.

אל חוקרי המשטרה הגיעה התמונה הבאה שבה נראה זוג נופל מגשר. בתמונה ניתן לראות את הגבר (בוב) קופץ אחרי האישה (קלרה).

בחקירה, סיפר בוב כי ראה את קלרה נופלת מהגשר, ואחרי בערך שלוש שניות קפץ אחריה. מכיוון שקלרה נפצעה והגישה תלונה, ניסו החוקרים לבדוק את טענתו של בוב שהפך לחשוד מרכזי. השאלה היא, האם מתוך התמונה בלבד ניתן להעריך את הפרש הזמנים?

התשובה, כמובן, חיובית.

כאשר גוף נופל בנפילה חפשית, כלומר בהשפעת כוח הכובד בלבד, מהירותו הולכת וגוברת בקצב של 9.8 מטר לשנייה - ערך זה נקרא תאוצת הכובד ומסומן באות g (לכבוד gravity). כאשר  גוף נע במהירות קבועה, המרחק שהוא עושה שווה למהירות כפול הזמן, אבל מה יהיה המרחק במקרה שבו המהירות מואצת?  התשובה לכך נובעת מטכניקה מתמטית פשוטה (הנקראת אינטגרציה), והנה היא לפניכם:

(כאשר d הוא המרחק שעשה הגוף במטרים במהלך הנפילה, t הוא פרק הזמן שחלף מתחילת הנפילה, ו-g כפי שציינו, היא תאוצת הכובד).
זוהי נוסחה שימושית ביותר כאשר רוצים לגלות, למשל,  עומק של באר או גובה של מבנה – פשוט נפיל אבן ונמדוד כמה זמן חולף עד לרגע הפגיעה בתחתית. נניח שחלפו 2 שניות. על פי הנוסחה, המרחק שהאבן עשתה הוא בקירוב (נעגל את 9.8 ל-10): 2 בריבוע כפול חמש, כלומר 20 מטרים. אם חלפו 3 שניות, המרחק יהיה 3 בריבוע כפול 5, או 45 מטרים.

בחזרה לתיק הפלילי.
אם נניח שגובהו של בוב (d1) הוא 1.70 מטר, נוכל ידי שימוש בקנה מידה להסיק שהמרחק שהוא נפל (d2) הוא 3 מטרים. באופן דומה,  המרחק שקלרה נפלה (d3) הוא 5.90 מטרים. מי שרוצה לבדוק בעצמו, מוזמן להדפיס את התמונה ולמדוד את המרחקים עם סרגל.

מה כל זה עוזר לנו? נשים לב, שבנוסחה שהוצגה, ניתן להשתמש גם על מנת לגלות את זמן הנפילה. אם ידוע המרחק (d), עלינו לחלקו ב-5 ואז להוציא שורש ריבועי. מכאן, שעל פי מרחקי הנפילה שגילינו, עולה שקלרה שהתה באוויר 1.1 שניות, ואילו בוב, משהו כמו 0.8 שניות, מה שאומר שהוא קפץ 0.3 שניות אחריה, ולא 3 שניות כפי שהוא טען. באמת בוב, על מי אתה מנסה לעבוד?

נוסחת הנפילה החפשית יכולה להיות שימושית גם עבור "אגדת עם מקסיקנית", שירו המבריק של מאיר אריאל אודות שני מקסיקנים שלומיאלים:



שאלה: כמה זמן נפל חואן לתהום?
תשובה: על פי מילות השיר:

חואן, כמו שהוא מהלך לו
שקוע באיזה חלום
לא פוקח עיניו, מחייך ומגחך לו
חוזה, איפה יש כאן תהההההההההההההההווווום

מדובר על פרק הזמן מהרגע שבו הוא מתחיל לזעוק עד לרגע החבטה. לא התעצלתי, ומדדתי בערך שש שניות. תוכלו לאשר זאת בעצמכם:

שאלה: מה עומק התהום?
תשובה: על פי הנוסחה, עלינו לכפול 5 בריבוע של 6, וזה נותן לנו 180 מטר. אבוי, חואן האומלל נפל מגובה השווה בערך למגדלי עזריאלי.

שאלה: האם התוצאה עקבית עם מה שמוזכר אחר כך בשיר?
תשובה: בהחלט!

חוזה משלשל מיד חבל
איזה עשר דקות כך עוברות
הוא ימשוך גם ימשוך הוא נכון לכל סבל,
ברם חואן שתי ידיו קצת שבורות

עשר הדקות שעוברות הן 600 שניות, ובמשך זמן זה משלשל חוזה חבל של 180 מטרים. אם נניח שהוא משלשל אותו בקצב קבוע, יוצא שהוא מוריד 30 ס"מ כל שניה – סביר ביותר.  מאיר אריאל הוא רב-מג של מילים, אבל כאן הוא גם מוכיח אינטואיציה פיזיקלית מדוייקת!

קישורים
על נפילה חופשית של פוליטיקאים כתבתי כאן
"צולל חפשי ללא מצנח, ולכל הכיוונים נפתח" – נפילה חפשית בשיר "נשל הנחש"
ואגב, מאיר אריאל כבר התארח בבלוג ברשימה "על שירה, רצון ואבולוציה"

מה שוקל יותר קילו ברזל או קילו נוצות?
גם אם נראה לך שהתשובה ברורה מאליה, המשכי/י לקרוא. כמעט בטוח שצפויה לך הפתעה.

ראשית עלינו לברר, מה הכוונה ב-'שוקל'. אם הכוונה היא לכמות החומר ('מסה' בלשון הפיזיקה) אז קילו ברזל אכן 'שוקל' בדיוק כמו קילו נוצות. אגב, זו המשמעות הנפוצה והשגויה למושג 'משקל'. למשל, כאשר אדם אומר 'אני שוקל 60 קילו' הוא בעצם מתכוון למסתו  ולא למשקלו. אם כן, מהו אותו 'משקל'?

לפיזיקה יש הגדרה חד-משמעית: משקל הוא הכוח שמפעיל שדה כבידה של פלנטה על מסה כלפי מטה (לכיוון מרכז הכובד של הפלנטה), וגודלו שווה למכפלת המסה במספר הנקרא g  ( שפירושו תאוצת הכובד). מסתבר, שלכל פלנטה יש g שונה. למשל, על פני כדור הארץ g=9.8  ועל הירח g=1.67. פירוש הדבר הוא, שאותה מסה תשקול פי 6 על פני כדור הארץ יחסית למשקלה על הירח. את המשקל מודדים ביחידות של כוח הנקראות 'ניוטון'. אם אותו אדם, שמסתו 60 ק"ג רוצה לדייק, עליו לומר "המשקל שלי הוא 588 ניוטונים" (60 כפול 9.8), מה שיהפוך אותו לתימהוני, ולכן השגיאה המושגית הזו כה מושרשת, עד שבחיי היום יום, גם פיזיקאי מדופלם ישתמש ב-'משקל' במובן של מסה.

אך כאן הבלבול לא הסתיים. נדמיין כעת אדם השקוע במים, כך שגופו 'מרחף'. מה משקלו? למעשה, הכוח שבו מושך אותו כדור הארץ לא השתנה, אבל אילו היה נעמד על מד-משקל, הוראת המכשיר הייתה בקירוב אפס. הגורם שמאזן את כוח הכבידה במקרה זה הוא כוח הציפה שמוגדר על ידי חוק ארכימדס כ-"משקל הנוזל הנדחה על ידי הגוף". הנקודה החשובה היא, שקיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

נבחן סיטואציה נוספת. כאשר מעלית מתחילה לעלות (בתאוצה), אנו חשים את כפות רגלינו נלחצות לרצפה. למעשה, ה-'משקל' שלנו גדל. כאשר המעלית עוצרת בקומה העליונה, ההפך מתרחש, ה'משקל' פוחת, ולשבריר שנייה אנו מרגישים קלים יותר. במקרה קיצוני יותר, אם המעלית תיפול בנפילה חופשית, משקל נוסעיה בעת הנפילה יהיה אפס שכן הם פשוט ירחפו באוויר.  למעשה, האסטרונאוטים החווים חוסר משקל בחללית הסובבת את כדור הארץ, נופלים כל העת כלפי מטה תוך כדי תנועה קדימה (כך נשמר המסלול המעגלי).  גם כאן קיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

מצב דומה קשור לסיבוב כדור הארץ. היות שגוף הנמצא על קו המשווה מסתובב מהר יותר מגוף הנמצא סמוך לקטבים, הרי שעל גוף זה פועל (מנקודת מבטו) כוח צנטריפוגלי גדול יותר כלפי מעלה, ולכן 'משקל' של קילוגרם תפוחים בקו המשווה יהיה קטן מעט מזה של אותו קילוגרם באלסקה. ההפרש אמנם זעיר אך, שוב, גם כאן קיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

שלוש הדוגמאות מראות לנו שיכולים לפעול כוחות שונים ומשונים שלא תמיד אנו מודעים להם, וגם אם כן, לא קל לחשב אותם ולקזזם ממה שמראה מד-המשקל. מכאן, שנחוצה הגדרה ישירה ואופרטיבית של 'משקל', והנה היא לפניכם:

משקל גוף הנו הערך שמורה מד-המשקל.

וכעת (סוף סוף) נחזור לברזל ולנוצות.
על אף שבדרך כלל איננו חשים בכך, גם באוויר פועל כוח ציפה. אי לכך, הערך שמורה מד המשקל יהיה תמיד קטן מהמשקל בוואקום (ללא אוויר) היות שהציפה באוויר מפעילה כוח כלפי מעלה. בניסוח מקוצר: משקלו באוויר של גוף יהיה קטן ממשקלו בוואקום. במה תלוי ההפרש? על פי חוק ארכימדס, הדבר תלוי  במכפלה של נפח הגוף, צפיפות האוויר ותאוצת הכובד. בפועל, כוח הציפה גדל עם נפח הגוף.

קילוגרם ברזל תופס פחות נפח מקילוגרם נוצות (כרית גדולה), ולכן כוח הציפה הפועל עליו קטן יותר. מכאן, שמשקלו של קילוגרם ברזל (במובן שאותו הגדרנו) יהיה קטן יותר ממשקלו של קילוגרם נוצות!  מובן, שאילו היינו שואבים את האוויר, המשקלים היו משתווים, כפי שמדגים ניסוי יפה:

למי שמתעניין, ניתן לחשב את הפרש המשקל נאמר, בין טון ברזל וטון עץ. הצפיפות של ברזל גדולה  פי 10 בקירוב  מזו של עץ, ולכן הברזל יתפוס נפח הקטן פי 10. על פי חוק ארכימדס, גם כוח הציפה שיפעל עליו יהיה קטן פי 10 ולכן הוא ישקול יותר. כמה חבטות על המחשבון מביאות אותנו להפרש השקול ל-1.5 קילוגרם – בהחלט משהו שניתן למדוד.

לסיכום, בצעירותך (עד כיתה בית  בערך) נראה לך הגיוני שקילו ברזל שוקל יותר מקילו נוצות (קוראים לזה כשל צירופיות). אתה גדל קצת, ומבין ש-"קילו זה קילו" וצוחק על כל מי שחושב אחרת. אבל רק אחרי שלמדת פיזיקה, אתה יודע שקילו ברזל שוקל יותר מקילו נוצות, ומגיע לשלוות דעת. מהלך זה מזכיר לי פואמה בודהיסטית (בתרגום חפשי)

בטרם חיפשתי סאטורי (הארה), ההרים היו הרים והנחל היה נחל
בעת שחיפשתי סאטורי, ההרים היו לנחל והנחל היה להרים
לאחר שזכיתי בסאטורי, ההרים היו הרים והנחל היה נחל.

קישורים
משקל – מתוך ויקיפדיה (כתוב היטב)
עוד על נפילה חופשית בפיזיקה עם פולישוק
על חוק ארכימדס בנוזל כתבתי כאן, ועל חוק ארכימדס בגז כאן.

"בכל עת בה אנו עוברים מן הנודע אל הלא נודע – אנו מקווים להבין, אך ייתכן שנצטרך במקביל ללמוד משמעות חדשה למילה 'הבנה'" – וורנר הייזנברג

מהי הבנה? למה אנו מתכוונים באומרנו "הבנתי"?  המילה 'הבנה' קשורה לבינה אך גם מזכירה 'בניה' ו-'הבנייה'. כאשר אנו מבינים, דבר מה 'נבנה' בהכרתנו, וכמו בבנייה פיזית, יש כאן תהליך; פיסות מידע שהיו נפרדות מתחברות ומקבלות מובן חדש, והרֶאִיָה החדשה שלהן היא תוצר ההבנה. למשל, קריאת השורות הללו, יכולה לגרום לך, הקורא,  להבין בדרך חדשה את המושג 'הבנה'.

המקבילה באנגלית מאירה היבט נוסף. 'To understand' פירושו 'לעמוד מתחת'. מה הכוונה? כאשר ברצוני להבין משהו חדש, עלי (באופן ציורי) לעמוד מתחתיו, ובכך לחבר אותו לדברים שאני כבר יודע. אם כן, להבין פירושו לא רק לִבנוֹת, אלא גם לחבר את מושא ההבנה לתשתית קודמת של דברים מובנים. זו הסיבה שכאשר מסבירים משהו לקבוצת אנשים, כל אחד 'מבין' באופן שונה ויש כאלו שלא 'מבינים' כלל.

כאשר מביט מדען בכוכבי השמיים, יש לו תחושה שהוא מבין את מה שהוא רואה, מכיוון שהוא מקשר את מראה עיניו לידיעותיו באסטרונומיה ובפיזיקה. מהלך הירח בשמים, למשל,  הינו ביטוי לתנועה היחסית בין גרמי השמיים בהתאם לחוקי התנועה והכבידה. לעומת זאת, כאשר כֹהֶן מצרי קדום התבונן באותם כוכבים, ה-'הבנה' שלו הייתה מבוססת  מן הסתם על סיפורי מיתולוגיה. במקרה זה, תנועת הירח היא ביטוי למהלך מלכותי של אחד האלים ברקיע, או משהו בסגנון זה. גם המדען וגם הכֹהן  'מבינים', שניהם חווים את אותו סיפוק נפשי, אך כל אחד מגיע להבנה בדרך שונה. שניהם חווים אותה תחושת  "א-אה" שבבסיסה קורת רוח על כך  שתפיסת עולמם הפכה קוהרנטית ומובנית יותר. הסיפוק שבהבנה מבטא בטחון גדול יותר בקיום שלנו, ובכך שהעולם, בסופו של דבר, אינו אקראי ושרירותי כפי שאולי נדמה במבט שטחי.

ניתן גם לחשוב על 'הבנה' כסוג של קפיצה קוונטית. בדומה לאלקטרון המדלג מרמת אנרגיה אחת לאחרת מבלי לעבור 'באמצע', כך גם ההבנה מופיעה בבת אחת וללא שלבי ביניים. אגב, לא מדובר במטפורה בלבד. ישנן ראיות רבות לכך שהמוח מתפקד בהיבטים רבים כמכשיר מדידה מָקרוסקופי לתופעות קוונטיות מִיקרוסקופיות (Zohar 1990). בהיבט זה, ניתן למצוא דמיון רב בין הבנה, השראה, הומור ויצירתיות, ואכן, הבנה היא ביטוי של יצירתיות (במובן הרחב) שכן במהותה היא יצירת  קשר (או גשר) חדש בין מה שלכאורה נתפס כהיבטים נפרדים של המציאות.

יש הסבורים שבכדי להבין, או לגרום למישהו אחר להבין, יש 'להסביר' לו בצורה מאוד ברורה (אולי כמה פעמים) ואז תיווצר במוחו 'הבנה' כתוצר של תהליך מכאני-פורמלי. גישה מזיקה זו נפוצה למדי בבתי ספר, ותוצאותיה המתסכלות מוכרות בייחוד בתחום המתמטיקה. האמת היא, שהתלמיד המצוי אינו מסוגל 'להבין' (לקלוט, לתפוס) לא בשל 'טיפשות' אלא כי לרוב הוא חסר את התשתית המתמטית שאליה הרעיון החדש אמור להתחבר והסברים, כמובן, לא עוזרים במאום. אך גם אילו הייתה לו התשתית, ההבנה לא הייתה מתרחשת באופן אוטומטי ודטרמיניסטי. יתרה מזאת,  הסיכויים להתרחשותה הולכים ופוחתים בתנאים של לחץ, תסכול ועוינות – לתשומת לבם של המורים.

המחנך הסופר וההוגה ג'ון הולט התחבט רבות בנושא ההבנה, בעיקר מתוך ניסיון להבין מדוע ילדים אינם מצליחים ללמוד כראוי בבית ספר, וכיצד לשנות את דרכי ההוראה על מנת שיתאמו את כישוריהם הטבעיים. ספרו 'כיצד נכשלים ילדים' (הוצאת מסדה, 1974) הוא ספר חובה לכל מורה באשר הוא, וכן ספרו המופתי 'כיצד ילדים לומדים' (לא תורגם לעברית). רבות מתפיסותיי עוצבו דרך קריאת ספריו של הולט, ולכן אסיים בציטוט מתוך 'בלמידה מתמדת' (הוצאת פראג, 2004) המאפיין את גישתו המשלבת פשטות מעשית ועמקות:

כאשר איננו מבינים משהו, יכולים להיות לכך שלושה הסברים. ראשית, יכול להיות ששמענו מילה או מילים , או ראינו סימן, שאיננו יודעים למה הוא מתייחס. לדוגמא, המילה "כלב" מתייחסת לחיה שעירה בעלת ארבע רגליים, בדרך כלל עם זנב. אם אף פעם לא ראיתם כלב, ומישהו מזכיר את המילה במהלך שיחה, תרגישו מבולבלים במקצת. אילו הייתם אסקימוסים, ומישהו היה מזכיר ג'ירפה (אינני יכול להעלות בדעתי מדוע), שוב הייתם מרגישים מבולבלים. אם הייתם גרים בצפון הרחוק, היה קשה מאוד "להסביר" לכם מהו עץ; או מהו הר, אם הייתם גרים בטונדרה שטוחה. אנשים שמימיהם לא ראו שלג, אף על פי ששמעו עליו או אפילו ראו תמונות שלו, נדהמים בדרך כלל כאשר הם רואים את הדבר האמיתי.

אם כבר ראיתם חיות כלשהן – סוס או חתול, לדוגמא – הייתי יכול להסביר לכם מהו כלב די בקלות, הייתי אומר שהו קטן יותר מסוס, בערך בגודל של חתול או גדול ממנו, בעל ארבע רגליים, ראש וזנב. אם מעולם לא ראיתם חיה בעלת ארבע רגליים, יהיה קצת יותר קשה להסביר איך חיה כזו נראית. אפשר אולי לצייר אותה [...]

מכשול שני בדרך להבנה הוא לשמוע דבר אחד ואחר כך לשמוע דבר אחר הנראה סותר את הראשון. אם היו אומרים לכם שברווזים עפים באוויר, ושצבי מים חיים במים, ואחר כך הייתם שומעים מישהו אומר שצב מים תפס ברווז (דבר שאכן קורה), הייתם מתבלבלים. איך ייתכן הדבר? מישהו יצטרך לספר לכם שברווזים נמצאים חלק מהזמן במים, ואז תבינו.

בעיה שלישית בהבנה היא הקושי במציאת קשר. כאשר מישהו אומר לנו משהו שנראה הגיוני, ואז אומר דבר אחר שנראה הגיוני, לעיתים קשה לנו להבין איך הדברים קשורים זה לזה. אם מישהו אומר לנו משהו שאנו חושבים שאנו מבינים,אבל הוא לא נראה כמתקשר לשום דבר, אנו חושבים "למה אתה אומר לי את זה?"

הידיעה כיצד ההבנה פועלת יכולה לעזור לכל מי שמנסה ללמד או להסביר משהו למישהו אחר [...] כאשר תלמיד אומר למורה "אני לא מבין" – קשה למורה לעזור לו. אם ילדים נראים מבולבלים, בקשו מהם לתאר את הנושא או המצב כפי שהם מבינים אותו, כך שמקור הבלבול יצוץ בסופו של דבר. ככל שנדייק בתיאור הדבר שמבלבל אותנו, כך יהיה קל יותר למישהו אחר לפתור את הבלבול.

הנה ההרצאה עומדת להתחיל –  אורות מעומעמים, רחש הולך וגווע, והמרצה נעמד מוכן מול הקהל, כשמאחוריו מתנוסס שקף הפתיחה החגיגי במצגת שהכין. כמה מילות פתיחה, והשקפים מתחילים להתחלף: מלל מפותל ערוך באלף, בית, גימל, אחד שתיים שלוש, או סתם בעיגולים מושחרים. המרצה שקוע בעולמו אבל מה עם הקהל? מבט מהיר חושף פיהוקים למכביר, מבטים חטופים בשעון והתעסקות קדחתנית בסלולאריים. פה ושם יש כאלו שמתוך נימוס מקשיבים למרצה, אך מבטם הלאה והאומלל מסגיר שעמום ותסכול על זמן יקר שבוזבז.

"Lousy bullets" (עיגולים מחורבנים) – זה השם שטבע הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן בספרו  'מה אכפת לך מה חושבים אחרים?'  עבור אינספור המצגות המשמימות שבהן הולעט בנאס"א, במסגרת ניסיונותיו לחקור את נסיבות התרסקותה של הצ'לנ'ר. אין ספק ש-'תרבות המצגות' יכולה לרדד את הרמה האינטלקטואלית ולפגוע ביכולת הביצועית של ארגונים (כמו למשל הצבא האמריקאי), אבל הן כבר הפכו לחלק בלתי נפרד מעולמנו ולכן כדאי להשתמש בהן בתבונה. פעם היה צריך לעמול רבות בכדי  להכין שקפים, אך היום מדובר בעניין פשוט ודי מהנה. נכון, הטכנולוגיה היא נהדרת, אך כמו כל טכנולוגיה, התלהבות נאיבית ושימוש לא מושכל סופן תוצאות עגומות. רבים סבורים שהכנת מצגת יפה שקולה להכנת הרצאה, וזו, לדעתי, סיבה מרכזית לשעמום ותחושת חוסר האפקטיביות שמייצרות רוב ההרצאות.

כמרצה מקצועי בתחום של מדע ומדע פופולארי, עברתי גלגולים רבים ביחס למצגות ולשימוש נכון בהן (שזו דרך מכובסת להגיד שעשיתי את כל השגיאות האפשריות). מובן שישנן גישות רבות המתאימות למרצים שונים,  אך נראה לי שהתובנות שאציג  יוכלו לעזור למרצים בכל רמה ולא רק בתחום המדעי.

הדבר החשוב ביותר לזכור הוא שהרצאה היא סוג של מופע. יש מסר שצריך לעבור, אבל אין לו סיכוי לעבור ללא הגשה אטרקטיבית, כאשר לב ההרצאה הוא הדרמה והעניין שיוצר המרצה סביב הנושא. הרצאה היא מעין סיפור, וצריך שהסיפור יהיה מעניין. ישנם סגנונות שונים אבל בכולם על המרצה ליצור עניין בעזרת מלל, אינטונציות ושפת גוף. את כל זאת המצגת יכולה להעצים, אבל לעולם לא להחליף.

מובן שנחוץ בטחון בעמידה מול קהל. מרצים חסרי בטחון נוטים ל'התחבא' מאחורי המצגת: הם מעבירים שקף ואז מדברים עליו. אמנם המצגת מזכירה למרצה על מה לדבר, אבל במחיר הקהיית התקשורת עם הקהל ובלימת הזרימה. התוצאה – שעמום. הסדר הנכון הוא, מרצה בקידמה ומצגת ברקע. המרצה הוא מרכז תשומת הלב, הוא מוביל את ההרצאה בעזרת שטף דיבור, שפת גוף ואינטראקציה עם הקהל, כאשר ברקע המצגת תומכת במסר, מעצימה אותו, או מוסיפה מימד אודיו-ויזואלי. כאשר המרצה נגרר אחרי המצגת, הקהל מאבד מיקוד והולך לאיבוד.

רבות נאמר על מה צריך להיות במצגת או איך לבנות מצגת, אך לטעמי, הדבר החשוב ביותר הוא דווקא מה לזרוק מהמצגת. וכך, בהתאם להתייחסותנו אל המצגת ככלי עזר, נוכל כעת לנסח שלושה כללים חשובים:

הכלל הראשון והחשוב ביותר הוא: 'צמצם טקסט!' דיבורים והסברים מילוליים הם כלי בלעדי של המרצה, וכאשר הקהל מנסה להקשיב ולקרוא בבת אחת הוא מאבד מיקוד היות ואותו מרכז במוח עוסק בעיבוד של אינפורמציה מילולית. מסופר על רוג'ר מור, כוכב סרטי ג'יימס בונד, שהיה מגיע לסט הצילום, מרפרף על  דפי התסריט, ומוחק בנונשלאנטיות כמעט את כל הטקסט שלו.  "ג'יימס בונד לא אמור לדבר" הייתה תגובתו המחוייכת לנוכח פיהם הפעור של אנשי ההפקה. אותו דבר עם מצגות – לחתוך טקסט ללא רחמים. לכל היותר להשאיר מילת מפתח, נתון מספרי קריטי, שם מיוחד, נוסחה או תאריך חשוב. זהו. כל הסבר מעבר לזה ייעשה בעל פה.

דוגמא לשקף גרוע

בהקשר זה, הדבר הגרוע ביותר הוא 'מצגת מדברת', דהיינו, משפטים שלמים המופיעים על גבי השקף. זו טעות מרגיזה של מרצים מתחילים אשר לעיתים מגדילים לעשות בקוראם לנו את מה שכתוב במצגת! קטסטרופה. בשביל מה צריך מרצה שכזה?!  בהרצאה הבאה שלכם, שימו לב שכאשר מופיע "שקף מדבר", ניתן ממש לחוש כיצד צונחת רמת הריכוז של הקהל. מינימום טקסט (ואם ניתן, בלי טקסט בכלל)  יוצר מתח חיובי ועניין. מהי תמונה זו? מה המשמעות שלה?באופן טבעי, המאזין קשוב יותר ומרוכז כאשר הוא מפענח באופן פעיל את ההרצאה ולא מואכל בכפית.

הכלל השני הוא, שהשקפים יהיו פשוטים ומושכי עין (אסטטיים או לפעמים פרובוקטיביים) ובכל מקרה מאוד חזותיים. ההיגיון הוא, כאמור, לא לגנוב פוקוס, שכן שקף מורכב מידי גורם לקהל לאבד את המרצה ואת הסיפור שהוא מנסה לטוות בדי-עמל. אם ,למשל, אני מספר על גלאקסיות מרוחקות, מתאים שתהייה מאחוריי תמונה יפה של גלקסיית אנדרומדה. זהו. בלי מלל, ובלי עוד שבעים גלקסיות נוספות שנדחפות מהצד. אם את מספרת על הסוואנה באפריקה, שימי תמונה מרשימה של קרנף מסתער. לא יותר. מעט זה הרבה.

דוגמא לשקף בינוני

זה מביא אותנו לכלל האחרון בנוגע לכל ה'משחקים' שהתוכנה מציעה: טקסטים מסתחררים, תמונות מעופפות, צבעים מרצדים ועוד שלל פירוטכניקות.  המלצתי החד משמעית – לא להתקרב לזה. למעט מקרים יוצאי דופן, טריקים מצועצעים שכאלו רק מוזילים את איכות ההרצאה, ודורשים התעסקות של המרצה עם המצגת. המלצה זו כוללת גם שקפים המתגלים במהלך הדיבור, או שימוש בקליפארטים בנאליים מהסוג שפאורפויינט מציע בנדיבות.

לסיכום – יש לבנות את המצגת כך שתסייע למרצה ולא תייתר אותו או תגנוב ממנו פוקוס. לצורך זה, היא צריכה להיות פשוטה, אסטטית, ויזואלית, נקייה מטקסט, וכמעט ולא נעזרת בשלל הצעצועים שמייקרוסופט מציעה. בהצלחה!

דוגמא לשקף טוב

גיליתי השבוע מאמר מרתק (הפניה בסוף) מאת מורה ותיק לפיזיקה, איטלקי בשם לאונרדו קולטי. מזה שנים שואל קולטי את עצמו, מהו המסר החשוב ביותר בנוגע לפיזיקה שראוי להעביר לתלמידיו? מהו המינימום המשמעותי שאין להתפשר עליו, אותו יוכלו התלמידים לקחת להמשך לימודיהם (ולחיים) כצידה? מובן, שאין הוא מחפש ידע מסוג שהוא, שכן ידע, כשלעצמו, לעולם אינו מטביע רושם עמוק בלבבות.

קולטי מתמקד במה שהוא מכנה 'הגישה מדעית' (Scientific attitude). אין כאן הכוונה לשיטה המדעית (או המתודולוגיה המדעית), שכן קיים קונצנזוס רחב שאין בנמצא שיטה מדעית יחידה המאגדת את כל הסגנונות המדעיים באשר הם -  מדענים שונים הגיעו לתגליות במגוון דרכים, באופן החומק מהגדרה כללית.  מהי, אם כן, הגישה המדעית? על פי קולטי, "הגישה המדעית שואפת להגיע לתוצר סופי, אינטר-סובייקטיבי (כלומר, ניתן לשיתוף, אך ללא בטחון באובייקטיביות, או באמיתות שלו), בעל יכולת ניבוי, שניתן להעמידו לביקורת. בנוסף, על תוצר זה לעלות בקנה אחד עם עבודות מדעיות קודמות."

למרבה הצער, זו הגדרה מסורבלת, שאינה אומרת דבר וחצי דבר לאנשים צעירים, ועל כן מציע קולטי תיווך בעזרת סיפורים. מעט כשרון דרמטי מצדו של המורה, והשיעור הראשון במדעים יכול  להיות חוויה מבדרת, שממנה – זו התקווה – תצמח בעתיד הבנה. סיפור המשל הראשון לקוח מהספר עולם רדוף שדים של האסטרופיזיקאי המיתולוגי  קארל סייגן, והוא הולך בערך כך:

דרקון בגראג'
יום אחד, מגיע חבר שלך בהתרגשות ומספר שיש לו דרקון בגראג'. לא פחות. על מנת שלא להעליב, ומתוך סקרנות מדעית לשמה, אתה מחליט ללכת איתו ולבדוק בעצמך. בחינה שטחית מגלה שאכן יש שם מה שיש בדרך כלל בגראג', אבל בשום פנים ואופן לא דרקון. ההסבר של החבר הוא שמדובר בדרקון בלתי-נראה. "בסדר," אתה אומר, "נפזר אבקה על הרצפה, ואם הדרקון יזוז נראה טביעות רגל".  על כך החבר משיב שהדרקון הוא מהסוג שכל הזמן מרחף באוויר.  תשובה מפתיעה זו גורמת לך להרהר קצת: "אוקי," אתה אומר, "אז נרסס צבע באוויר", ומציע גם למדוד את הטמפרטורה במקומות שונים בגראג', או אפילו להשתמש במצלמת אינפרא-אדום. אבל גם כאן החבר מתנגד בעיקשות, בטענה שמדובר בדרקון לא-חומרי היורק אש קרה שאינה ניתנת לגילוי בעזרת מכשירים גשמיים. וכך שוב ושוב, כנגד כל הצעה לבדיקה פיזיקאלית שאתה מעלה, מביא החבר הצדקה אד-הוק לכך שהיא תכשל.

קארל סייגן מנסה להראות כאן, שטענה מדעית חייבת להיות ברת-בדיקה – זה הבסיס. המדע, שבו הפיזיקה מוליכה את הדרך, מרוצף טענות הניתנות לבדיקה אמפירית. עם זאת, הדברים אינם כה פשוטים. הפילוסוף עמנואל קאנט הראה כי המציאות עצמה (או הממשות האובייקטיבית) לעולם תוותר מחוץ לתחום הכרתם של החושים, ועל כן אין המדע שואף לידיעה אובייקטיבית של המציאות (במובן הפילוסופי) אלא לידע אינטר-סוביקטיבי (דהיינו – משותף לאנשים רבים, אך ללא בטחון באובייקטיביות שלו). העמידה במבחן (testability) היא הדרך הבטוחה להשגת ידע שאותו ניתן לשתף, ולהתבסס עליו בקהילה חוקרת – זו מטרתו הנאצלת של המדע. כיצד מעמידים טענה למבחן? על ידי מדידה, תוך שימוש במכשור מתאים. כאן גם נכנסת לתמונה המתמטיקה, שהיא השפה האוניברסאלית המאפשרת תרגום של טענות מדעיות למבחני מדידה; זאת ועוד, בלעדיה לא ניתן להלביש את הידע המדעי במבנים קוהרנטיים וכלליים.

מעניין לציין, לצורך השוואה, שתוצרים של אמונה, פילוסופיה, אומנות, שירה וכדומה, מעצם טבעם אינם כפופים לקריטריון העמידה במבחן. תוצרים אלו הינם בוודאי  סוג של ידע (או ידיעה), ברם ידע זה השונה מהותית מהידע המדעי שהינו, כאמור, אינטר-סובייקטיבי: ידע שעמד במבחן הבדיקה האמפירית. אך מדע טוב דורש יותר מזה. על המדען הרציני לבחון טענותיו במה שמכונה 'כנות אינטלקטואלית' או 'ביקורת נטולת פניות'  מה שמוביל אותנו למשל הבא, המיוחס לפילוסוף קארל פופר, למרות שהוא לקח אותו מהמתמטיקאי ברטרנד ראסל.

מה שהתרנגול לא ידע
בחווה היה תרנגול הודו שקנה לו שם בחריפות שכלו ובתשוקתו ללמוד מתוך התבוננות ערנית בסביבתו. אותו תרנגול שם לב לרצף אירועים המתרחש יום ביומו. בכל בוקר השמש זורחת, עובר זמן מה, ואז האיכר מגיע ומאכיל אותו ואת חבריו. לא עבר זמן רב והתרנגול הנבון ניסח 'חוק טבע' כדלקמן: בכל יום השמש זורחת, האיכר מגיע, ואז מקבלים תירס. וכך, בסוף כל יום, דילג התנגול על הגדר, הביט בחבריו מלמעלה והעיר: 'רואים, הנה הוכחה נוספת שמאששת את התיאוריה שלי!' ואכן, הידע של התרנגול הוא אינטר-סובייקטיבי לעילא – ניתן לבדוק את תקפותו על ידי תצפיות. חלף הקיץ, הגיע הסתיו, ובוקר אחד בנובמבר, לקראת סעודת חג ההודיה (Thanksgiving), השמש זרחה, האיכר הגיע  ו…שחט את התרנגול השנון.

מה מלמד סיפור זה? ראסל ופופר רצו להראות שאינדוקציה אינה יכולה להיות בסיס איתן לידע מדעי. במדע, אנו מחפשים חוקים אוניברסאליים, לכן זה פשוט לא הגיוני להסתמך על מספר סופי של תצפיות.  אינדוקציה תמיד הולכת מהפרטי לכללי, בעוד שדדוקציה גוזרת מקרים פרטיים מתוך חוקים כלליים. בואו נראה איך זה עובד בדוגמא פשוטה. לקראת שנת הלימודים, אתה מגיע למזכירות לברר אם התקבלת לקורס מסויים. המזכירה יכולה להשיב בקריאת רשימת התלמידים שהתקבלו: 'מיכאל – כן, יונתן – כן, אביתר – כן' וכו'. באופן זה, אתה עלול  להתפתות (באינדוקציה) למסקנה: 'כולם התקבלו לקורס'.  אך זו תהיה מסקנה שרירותית, גם אם הרשימה ארוכה מאוד, כלומר קיימים אישורים רבים לטענה. אבל המזכירה יכולה גם להשיב: 'כולם התקבלו' – במקרה זה אתה מסיק בדדוקציה שגם אתה התקבלת, וההיסק שלך נכון לוגית.

התיאוריה של התרנגול (בניגוד לתאוריית הדרקון) היא מדעית שכן היא ניתנת לבדיקה, אבל גישתו היתה לקויה, שכן הוא ביקש רק אישורים עבור התאוריה שלו, בעוד שהיה עליו לחפש דוקא דוגמאות מפריכות. כנות אינטלקטואלית פירושה לחפש במודע אחר פגמים וטעויות בתאוריה שלך, במקום לנסות לאשר אותה שוב ושוב באופן טריוויאלי. יש כאן כמובן לקח חשוב שחורג מההקשר המדעי: אם נהרהר בשלל הסטריאוטיפים, הדעות הקדומות, והעמדות הפנאטיות לסוגיהן – נגיע למסקנה (האינדוקטיבית?) שכולן נובעות מאותה גישה. חינוך מדעי טוב אמור להזהיר אותנו ממלכודות שכאלו, בייחוד כאשר אנו מזהים אותן בתוכנו.

זו לא מקטרת
נדבך נוסף בהקשר זה, נוגע למשמעות של תיאוריה מדעית. קולטי מספר שהוא מצייר על הלוח את כף ידו ושואל: 'מה זה?' התשובה האוטומטית היא 'היד שלך', אבל צריך לדייק: על הלוח יש  ציור המייצג היבט מסוים (היקף) של היד. זה אולי נראה טריוויאלי, אך הרבה פעמים – גם בקרב אנשי מדע – יש נטייה 'לשכוח' שהתאוריות אינן המציאות עצמה (ולעולם לא יהיו), אלא מודלים מופשטים שמטרתם לתאר היבט מצומצם של הממשות. המחשה לכך היא  ציורו המפורסם של רנה מגריט : "זו אינה מקטרת". שם קצת מוזר, כי בפירוש מצוירת שם מקטרת. אבל זה בדיוק העניין: אי אפשר לעשן את הציור (הגאוני) – זו  לא מקטרת. המציאות ותיאור המציאות לעולם תהינה ישויות נפרדות.

Colletti, L., "On dragons and turkeys: physics for future citizens",   School Science Review , June 2010

לתפעל קייטנה זה לא דבר קל. שבעים ילדים סביבך, כולם רוצים תשומת לב, כל אחד בטוח שהוא המקופח ורק אתה יכול לתקן את העוולה ברגע זה בדיוק. נו כבר!  כן, זה יכול לעלות על העצבים של המדריך הנינוח ביותר. ובכל זאת, יש לא מעט רגעי נחת, כמו שמחה של ילד שמגלה משהו מדהים על העולם. רגע קסם. נתת לילד משהו שמציף אותו בפליאה והשתאות… הוא לא יגיד זאת במפורש אך פניו מעידות על כך.

צילמתי אותם בפעילות של מצנחי פרופלור מנייר, ביום תעופה בקייטנת מדע בראש טוב בנס-ציונה:

מחווה לפורסט גאמפ -The best video clips are here

כן, זו מחווה קטנה לסצנת הפתיחה הגאונית של פורסט גאמפ (עם פס הקול של אניו מוריקונה)

למתעניינים בפעילות על מצנחי פרופלור – ניתן להוריד אותה כאן (קליק ימני ושמירה)

צולם במצלמת Casio EX-F1 בקצב של 300 פריימים לשנייה

רבים בוודאי מזדהים עם כותרת הספר:

בעצם, הספר הקלאסי (והמאוד משעשע) של מרלין ברנס מראה בדיוק את ההפך: את היופי של המתמטיקה, ועד כמה היא רלוונטית לחיים שלנו. השאלה היא מדוע מקצוע שהיה אמור להיות כה מהנה הופך להכי מענה? התשובה המפתיעה היא שכנראה בבתי הספר בכלל לא מלמדים מתמטיקה! אם כן, מה זה הדבר שמלמדים שם, ומהי מתמטיקה באמת?  גולש הודי צעיר בשם שיוננדה קוטשואר ניסח זאת יפה:

"רק בהגיעי לשנה האחרונה בבית הספר הבנתי שרימו אותנו. מתמטיקה אינה הצבה חסרת-דעת של מספרים בנוסחאות – בשביל זה יש מחשבים. מתמטיקה אפילו אינה קשורה בהכרח למספרים. מתמטיקה עוסקת במניפולציה מדויקת של רעיונות; מתמטיקה היא הלוגיקה של פתרון בעיות.  היא דורשת דמיון וחשיבה אסטרטגית; דורשת ממך לבטא את עצמך בדרך הפשוטה ביותר האפשרית – אך לא פשוט מזה.  היא מלמדת אותך להתמודד עם אתגר עצום על ידי פירוקו למרכיביו, וכך, אט אט לשייף את הפתרון בדרכך למשוואה יפיפייה."

It was really only when I got into my final year at high school that I realised that wehad all been tricked. Maths isn't about mindlessly plugging numbers into formulas. That's what computers are for. Maths isn't even about numbers

Maths is about the precise manipulation of ideas. Its about logic and problem-solving. It requires imagination and strategic thinking. Maths is about expressing oneself as simply as possible, but not simpler than that. Its about taking a daunting challenge, breaking it down into its constituents and slowly adding finishing touches to a polished, beautiful equation

אבל איך עושים זאת?  דן מאייר הוא מורה צעיר למתמטיקה שממציא אין ספור רעיונות מקוריים כדי לחבב את המתמטיקה על תלמידיו ולגרום להם לחשוב. רק מי שעמד מול כיתה משועממת יכול להעריך עד כמה המשימה הזו כבירה, ועד כמה מרגש לגלות שהתלמידים שלך אכן מפעילים את מוחם, ואפילו נהנים מכך! לצורך כך פיתח דן אסטרטגיית לימוד שמסתכמת בציווי: "אל תעזור!" - תן להם לגלות, תן להם להמציא, תן להם לשבור את הראש – רק כך מתפתחות יכולות חשיבה. דוגמא: בבעיות הגודשות את ספרי הלימוד, כל הנתונים הנחוצים, ורק הם, מופיעים בגוף השאלה. העניין הוא שבחיים "האמיתיים" זה אף פעם לא כך! האם ראיתם נתונים מסתובבים בשטח עם תוויות קטנות "תשתמש בי!" זה מגוחך. כולנו יודעים מניסיון שחלק נכבד מפתרון בעיות הוא לגלות מה הנתונים הרלוונטיים. למרבה הצער, התלמידים לא זוכים לפתח יכולת זו, אלא בעיקר את החלק הטכני והשולי של הצבה בנוסחה.

אשתי משמשת כאחות בבית חולים, ולפי התקנות, מדי שנה עליה לעבור בחינת רוקחות דרך האינטרנט. השאלות בבחינה מציגות מינונים של תרופות, ריכוזים,  קצבי טפטוף של אינפוזיות ועוד. הדבר שמייד קופץ לעין הוא, שרוב הנתונים מיותרים (כמו בחיים ממש). על האחות לקבוע מה חשוב והכרחי, להתעלם מכל השאר, ומכאן והפתרון יכול להיות תרגיל כפל פשוט. ללא תוספת תקציב אפשר בקלות לבנות שאלות בסגנון זה לתלמידי מתמטיקה ומדעים. רעיון נוסף הוא שאלה ללא נתונים כלל. בדרך אל הפתרון, התלמידים צריכים להחליט אילו נתונים הם רוצים "לקנות" מהמורה. אם תלמיד יקנה יותר מדי נתונים לא רלוונטיים, הציון שלו יהיה נמוך מזה של תלמיד שקנה את הנתונים הנחוצים בלבד. די ברור שקשת מיומנויות החשיבה ששאלה כזו דורשת רחבה הרבה יותר מבעיות "סטנדרטית".

ומכאן דן מאייר, הבמה שלך:
(להרצאה עם כתוביות בעברית, כאן. תודה לתום בייליק ממכון ויצמן על התרגום)

קישורים
רעיונות לשיפור היכולת המתמטית מאת מרלין ברנס ("אני שונא מתמטיקה")
הבלוג של דן מאייר – אפשר להוריד הרבה חומרי למידה שהוא פיתח.
זוהי מתמטיקה! שיר מקסים של המוזיקאי טום לרר, מתמטיקאי בעצמו.
סטיות תקן והסתברויות במקום נגזרות ואינטגרלים
וגם..דן מאייר הוא מופת ל-"אהבת המקצוע" שניסיתי לבטא ב-למה מורים נשחקים