מדע ושאר רוח

הרבה בדיחות קשורות לצניחה ממטוס, אבל אנחנו נפתח דוקא בחידה. כאשר צנחן קופץ ממטוס, ברור שמהירותו כלפי מטה הולכת וגוברת. השאלה היא כיצד היא גוברת, או בניסוח אחר, איזה גרף מבין השלושה (א,ב,ג) מייצג נאמנה את שינוי מהירותו של הצנחן כתלות בזמן, וזאת לפני שהמצנח נפתח ?

גרף ג אינו הגיוני מכיוון שהמהירות אינה פוחתת כל עוד המצנח אינו נפתח. גרף ב מתאר מצב בו המהירות גוברת בקצב קבוע (או תאוצה קבועה) וזה בדיוק מה שהיה מתרחש אלמלא היה אוויר (למשל על הירח). גרף א, לעומת זאת מתאר מהירות גוברת עד לערך גבולי, והוא נאמן, ברמה העקרונית, למה שקורה בצניחה חופשית.

בניגוד לנפילה חופשית, בה הכוח היחידי הפועל על הגוף הוא כוח הכבידה, כאן מתווסף כוח נוסף הנקרא 'התנגדות אוויר' או גרר (drag). כוח זה פועל על כל גוף הנע במדיום גזי והוא נובע מההתנגשויות המקרוסקופיות הרבות של הגוף עם מולקולות הגז. בפועל, התנגדות האוויר תלויה בגורמים הבאים: מהירות הגוף, שטח החתך של הגוף (השטח הבא במגע עם זרימת האוויר),  הצורה האווירודינמית של הגוף וצפיפות האוויר (למתעניינים בביטוי המתמטי המדוייק - בבקשה).  אם כן, במקרה של נפילה, קיימת אינטראקציה בין שני כוחות היוצרים משחק מורכב ומעניין יותר מאשר במקרה הפשוט בו הגוף נופל בריק.

בתחילת הנפילה, כאשר המהירות יחסית נמוכה, התנגדות האוויר אינה משמעותית, כך שהכוח הדומיננטי הפועל הגוף הוא כוח הכבידה. כוח זה גורם לגוף להאיץ (ע"פ החוק השני של ניוטון), כך שמהירותו גוברת. עם גדילת המהירות, גדלה גם התנגדות האוויר, וכעת פועל על הגוף גם כוח הולך וגובר כלפי מעלה. בשלב מסויים, שני הכוחות ישתוו, ואז הכוח השקול (נטו) הפועל על הגוף יתאפס. זהו רגע מאוד מעניין שמשמעותו היא, שכעת הגוף לא משנה עוד את מהירותו; זוהי המהירות המקסימלית בתנאים הנתונים ועל כן היא נקראת מהירות טרמינלית או מהירות סופית.

המסקנה המתבקשת היא,  שכאשר גוף נופל באוויר – טיפת מים, מטבע, צנחן או מטאוריט – מהירותו אינה גדלה עד בלי די, אלא מגיעה לערך סופי ומוגדר התלוי בתכונות הגוף (מסה, שטח חתך וצורה אווירודינמית) ובצפיפות האוויר. למשל, כאשר צנחן נופל הוא יגיע למהירות טרמינלית של כ-200 קמ"ש. מהירות זו עשויה לגדול ב-25% אם הצנחן יצמיד את זרועותיו לגופו (שינוי שטח החתך) ויטה את עצמו כלפי מטה (שינוי הצורה האווירודנמית). כל זאת מומחש היטב בתוכנית מעולה על צניחה ששודרה בערוץ ההיסטוריה.

כעת נבדוק סיטואציה מעניינת. מה יקרה אם ניקח שני גופים זהים, שהאחד כבד פי שניים מרעהו ונפיל אותם ממגדל גבוה? האם שניהם יגיעו לאותה מהירות טרמינלית? אלו מאיתנו שלמדו פיזיקה, ימהרו אולי לקבוע שכן, בהתבסס על ניסויו של גלילאו שהטיל מראש פיזה (כך אומרים) כדורים במשקלים שונים וגילה שהם מגיעים באותו זמן (כמעט) לקרקע. האמת היא, שאם נבצע את ניסוי גלילאו מגובה רב מאוד (מאות מטרים) נגלה שהגוף הכבד מגיע למהירות גבוהה יותר!
זה לא שגלילאו טעה, אלא שתוצאותיו מתאימות לסיטואציה בה התנגדות האוויר זניחה. כאשר גוף כבד יותר, פירוש הדבר שהוא נמשך בכוח חזק יותר כלפי מטה. על מנת 'לאזן' כוח זה, נחוצה התנגדות אוויר גדולה יותר המושגת במהירות גבוהה יותר. כלומר, המהירות הטרמינלית של גוף גדלה עם מסתו. איך בדיוק? היות והבלוג מיועד לציבור הרחב, אינני נוהג לצרף נוסחאות מדוייקות, אבל כאן קצת קשה להתאפק. מי שמבין…יבין ויהנה (ראה משמעות המשתנים בויקיפדיה).

נסיים בקטע הפתיחה המרשים של Moonraker בו ג'ימס בונד נופל ממטוס ללא מצנח. האם מה שאנו רואים על המסך יכול היה להתרחש גם במציאות?

נשים לב ששינוי המהירות הטרמינלית מושג כאן בשתי דרכים שונות:
א. כאשר ג'ימס בונד משנה את  אוריאנטציית הגוף ובכך מגביר את מהירותו ביחס לטייס (שצונח בזרועות פרושות).
ב. כאשר צונח אחריו JAWS, הוא לא צריך לשנות את האוריאנטציה, ובצדק,  שכן המהירות הטרמינלית גדלה עם המסה.
שתי הדרכים, כאמור, עולות בקנה אחד עם עקרונות הפיזיקה. שאפו ליוצרי הסרט!

לינקים
נפילה חופשית עם מאיר אריאל
פיזיקה עם פולישוק
האם מטבע שנופל מגובה יכול להרוג בן אדם?
מהירות טרמינלית של צנחן – נתונים

אל חוקרי המשטרה הגיעה התמונה הבאה שבה נראה זוג נופל מגשר. בתמונה ניתן לראות את הגבר (בוב) קופץ אחרי האישה (קלרה).

בחקירה, סיפר בוב כי ראה את קלרה נופלת מהגשר, ואחרי בערך שלוש שניות קפץ אחריה. מכיוון שקלרה נפצעה והגישה תלונה, ניסו החוקרים לבדוק את טענתו של בוב שהפך לחשוד מרכזי. השאלה היא, האם מתוך התמונה בלבד ניתן להעריך את הפרש הזמנים?

התשובה, כמובן, חיובית.

כאשר גוף נופל בנפילה חפשית, כלומר בהשפעת כוח הכובד בלבד, מהירותו הולכת וגוברת בקצב של 9.8 מטר לשנייה - ערך זה נקרא תאוצת הכובד ומסומן באות g (לכבוד gravity). כאשר  גוף נע במהירות קבועה, המרחק שהוא עושה שווה למהירות כפול הזמן, אבל מה יהיה המרחק במקרה שבו המהירות מואצת?  התשובה לכך נובעת מטכניקה מתמטית פשוטה (הנקראת אינטגרציה), והנה היא לפניכם:

(כאשר d הוא המרחק שעשה הגוף במטרים במהלך הנפילה, t הוא פרק הזמן שחלף מתחילת הנפילה, ו-g כפי שציינו, היא תאוצת הכובד).
זוהי נוסחה שימושית ביותר כאשר רוצים לגלות, למשל,  עומק של באר או גובה של מבנה – פשוט נפיל אבן ונמדוד כמה זמן חולף עד לרגע הפגיעה בתחתית. נניח שחלפו 2 שניות. על פי הנוסחה, המרחק שהאבן עשתה הוא בקירוב (נעגל את 9.8 ל-10): 2 בריבוע כפול חמש, כלומר 20 מטרים. אם חלפו 3 שניות, המרחק יהיה 3 בריבוע כפול 5, או 45 מטרים.

בחזרה לתיק הפלילי.
אם נניח שגובהו של בוב (d1) הוא 1.70 מטר, נוכל ידי שימוש בקנה מידה להסיק שהמרחק שהוא נפל (d2) הוא 3 מטרים. באופן דומה,  המרחק שקלרה נפלה (d3) הוא 5.90 מטרים. מי שרוצה לבדוק בעצמו, מוזמן להדפיס את התמונה ולמדוד את המרחקים עם סרגל.

מה כל זה עוזר לנו? נשים לב, שבנוסחה שהוצגה, ניתן להשתמש גם על מנת לגלות את זמן הנפילה. אם ידוע המרחק (d), עלינו לחלקו ב-5 ואז להוציא שורש ריבועי. מכאן, שעל פי מרחקי הנפילה שגילינו, עולה שקלרה שהתה באוויר 1.1 שניות, ואילו בוב, משהו כמו 0.8 שניות, מה שאומר שהוא קפץ 0.3 שניות אחריה, ולא 3 שניות כפי שהוא טען. באמת בוב, על מי אתה מנסה לעבוד?

נוסחת הנפילה החפשית יכולה להיות שימושית גם עבור "אגדת עם מקסיקנית", שירו המבריק של מאיר אריאל אודות שני מקסיקנים שלומיאלים:



שאלה: כמה זמן נפל חואן לתהום?
תשובה: על פי מילות השיר:

חואן, כמו שהוא מהלך לו
שקוע באיזה חלום
לא פוקח עיניו, מחייך ומגחך לו
חוזה, איפה יש כאן תהההההההההההההההווווום

מדובר על פרק הזמן מהרגע שבו הוא מתחיל לזעוק עד לרגע החבטה. לא התעצלתי, ומדדתי בערך שש שניות. תוכלו לאשר זאת בעצמכם:

שאלה: מה עומק התהום?
תשובה: על פי הנוסחה, עלינו לכפול 5 בריבוע של 6, וזה נותן לנו 180 מטר. אבוי, חואן האומלל נפל מגובה השווה בערך למגדלי עזריאלי.

שאלה: האם התוצאה עקבית עם מה שמוזכר אחר כך בשיר?
תשובה: בהחלט!

חוזה משלשל מיד חבל
איזה עשר דקות כך עוברות
הוא ימשוך גם ימשוך הוא נכון לכל סבל,
ברם חואן שתי ידיו קצת שבורות

עשר הדקות שעוברות הן 600 שניות, ובמשך זמן זה משלשל חוזה חבל של 180 מטרים. אם נניח שהוא משלשל אותו בקצב קבוע, יוצא שהוא מוריד 30 ס"מ כל שניה – סביר ביותר.  מאיר אריאל הוא רב-מג של מילים, אבל כאן הוא גם מוכיח אינטואיציה פיזיקלית מדוייקת!

קישורים
על נפילה חופשית של פוליטיקאים כתבתי כאן
"צולל חפשי ללא מצנח, ולכל הכיוונים נפתח" – נפילה חפשית בשיר "נשל הנחש"
ואגב, מאיר אריאל כבר התארח בבלוג ברשימה "על שירה, רצון ואבולוציה"

מה שוקל יותר קילו ברזל או קילו נוצות?
גם אם נראה לך שהתשובה ברורה מאליה, המשכי/י לקרוא. כמעט בטוח שצפויה לך הפתעה.

ראשית עלינו לברר, מה הכוונה ב-'שוקל'. אם הכוונה היא לכמות החומר ('מסה' בלשון הפיזיקה) אז קילו ברזל אכן 'שוקל' בדיוק כמו קילו נוצות. אגב, זו המשמעות הנפוצה והשגויה למושג 'משקל'. למשל, כאשר אדם אומר 'אני שוקל 60 קילו' הוא בעצם מתכוון למסתו  ולא למשקלו. אם כן, מהו אותו 'משקל'?

לפיזיקה יש הגדרה חד-משמעית: משקל הוא הכוח שמפעיל שדה כבידה של פלנטה על מסה כלפי מטה (לכיוון מרכז הכובד של הפלנטה), וגודלו שווה למכפלת המסה במספר הנקרא g  ( שפירושו תאוצת הכובד). מסתבר, שלכל פלנטה יש g שונה. למשל, על פני כדור הארץ g=9.8  ועל הירח g=1.67. פירוש הדבר הוא, שאותה מסה תשקול פי 6 על פני כדור הארץ יחסית למשקלה על הירח. את המשקל מודדים ביחידות של כוח הנקראות 'ניוטון'. אם אותו אדם, שמסתו 60 ק"ג רוצה לדייק, עליו לומר "המשקל שלי הוא 588 ניוטונים" (60 כפול 9.8), מה שיהפוך אותו לתימהוני, ולכן השגיאה המושגית הזו כה מושרשת, עד שבחיי היום יום, גם פיזיקאי מדופלם ישתמש ב-'משקל' במובן של מסה.

אך כאן הבלבול לא הסתיים. נדמיין כעת אדם השקוע במים, כך שגופו 'מרחף'. מה משקלו? למעשה, הכוח שבו מושך אותו כדור הארץ לא השתנה, אבל אילו היה נעמד על מד-משקל, הוראת המכשיר הייתה בקירוב אפס. הגורם שמאזן את כוח הכבידה במקרה זה הוא כוח הציפה שמוגדר על ידי חוק ארכימדס כ-"משקל הנוזל הנדחה על ידי הגוף". הנקודה החשובה היא, שקיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

נבחן סיטואציה נוספת. כאשר מעלית מתחילה לעלות (בתאוצה), אנו חשים את כפות רגלינו נלחצות לרצפה. למעשה, ה-'משקל' שלנו גדל. כאשר המעלית עוצרת בקומה העליונה, ההפך מתרחש, ה'משקל' פוחת, ולשבריר שנייה אנו מרגישים קלים יותר. במקרה קיצוני יותר, אם המעלית תיפול בנפילה חופשית, משקל נוסעיה בעת הנפילה יהיה אפס שכן הם פשוט ירחפו באוויר.  למעשה, האסטרונאוטים החווים חוסר משקל בחללית הסובבת את כדור הארץ, נופלים כל העת כלפי מטה תוך כדי תנועה קדימה (כך נשמר המסלול המעגלי).  גם כאן קיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

מצב דומה קשור לסיבוב כדור הארץ. היות שגוף הנמצא על קו המשווה מסתובב מהר יותר מגוף הנמצא סמוך לקטבים, הרי שעל גוף זה פועל (מנקודת מבטו) כוח צנטריפוגלי גדול יותר כלפי מעלה, ולכן 'משקל' של קילוגרם תפוחים בקו המשווה יהיה קטן מעט מזה של אותו קילוגרם באלסקה. ההפרש אמנם זעיר אך, שוב, גם כאן קיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

שלוש הדוגמאות מראות לנו שיכולים לפעול כוחות שונים ומשונים שלא תמיד אנו מודעים להם, וגם אם כן, לא קל לחשב אותם ולקזזם ממה שמראה מד-המשקל. מכאן, שנחוצה הגדרה ישירה ואופרטיבית של 'משקל', והנה היא לפניכם:

משקל גוף הנו הערך שמורה מד-המשקל.

וכעת (סוף סוף) נחזור לברזל ולנוצות.
על אף שבדרך כלל איננו חשים בכך, גם באוויר פועל כוח ציפה. אי לכך, הערך שמורה מד המשקל יהיה תמיד קטן מהמשקל בוואקום (ללא אוויר) היות שהציפה באוויר מפעילה כוח כלפי מעלה. בניסוח מקוצר: משקלו באוויר של גוף יהיה קטן ממשקלו בוואקום. במה תלוי ההפרש? על פי חוק ארכימדס, הדבר תלוי  במכפלה של נפח הגוף, צפיפות האוויר ותאוצת הכובד. בפועל, כוח הציפה גדל עם נפח הגוף.

קילוגרם ברזל תופס פחות נפח מקילוגרם נוצות (כרית גדולה), ולכן כוח הציפה הפועל עליו קטן יותר. מכאן, שמשקלו של קילוגרם ברזל (במובן שאותו הגדרנו) יהיה קטן יותר ממשקלו של קילוגרם נוצות!  מובן, שאילו היינו שואבים את האוויר, המשקלים היו משתווים, כפי שמדגים ניסוי יפה:

למי שמתעניין, ניתן לחשב את הפרש המשקל נאמר, בין טון ברזל וטון עץ. הצפיפות של ברזל גדולה  פי 10 בקירוב  מזו של עץ, ולכן הברזל יתפוס נפח הקטן פי 10. על פי חוק ארכימדס, גם כוח הציפה שיפעל עליו יהיה קטן פי 10 ולכן הוא ישקול יותר. כמה חבטות על המחשבון מביאות אותנו להפרש השקול ל-1.5 קילוגרם – בהחלט משהו שניתן למדוד.

לסיכום, בצעירותך (עד כיתה בית  בערך) נראה לך הגיוני שקילו ברזל שוקל יותר מקילו נוצות (קוראים לזה כשל צירופיות). אתה גדל קצת, ומבין ש-"קילו זה קילו" וצוחק על כל מי שחושב אחרת. אבל רק אחרי שלמדת פיזיקה, אתה יודע שקילו ברזל שוקל יותר מקילו נוצות, ומגיע לשלוות דעת. מהלך זה מזכיר לי פואמה בודהיסטית (בתרגום חפשי)

בטרם חיפשתי סאטורי (הארה), ההרים היו הרים והנחל היה נחל
בעת שחיפשתי סאטורי, ההרים היו לנחל והנחל היה להרים
לאחר שזכיתי בסאטורי, ההרים היו הרים והנחל היה נחל.

קישורים
משקל – מתוך ויקיפדיה (כתוב היטב)
עוד על נפילה חופשית בפיזיקה עם פולישוק
על חוק ארכימדס בנוזל כתבתי כאן, ועל חוק ארכימדס בגז כאן.

מהו סוד היציבות של הרקדנים? מדוע בדיוק בתנוחה המסוימת הזו אין הם נופלים?

מדוע הבקבוק ומחזיק העץ אינם נופלים?

מסתבר, שיש עקרון פיזיקלי מדויק המבהיר מדוע מושגת יציבות בשני המקרים, אך ראשית יש להבהיר מושג מפתח הנקרא 'מרכז הכובד' (או 'מרכז המסה' שמשמעותו דומה אך לא זהה). מרכז הכובד, באופן אינטואיטיבי הוא  ה-'ממוצע' של הגוף. במידה והגוף סימטרי לחלוטין, מרכז הכובד יהיה בדיוק במרכז. כאשר אין סימטריה, מרכז הכובד יטה לאזורים 'הכבדים' יותר. למשל, ראשו של הילד גדול יחסית (בהשוואה לשאר גופו) ורגליו אינן שריריות, לכן מרכז הכובד שלו יהיה גבוה יחסית לזה של המבוגר. מעניין לשים לב שגוף האדם הנו סימטרי בקירוב, ולכן מרכזי הכובד של כל הדמויות יהיו על ציר הסימטריה האורכי.

מכיוון שמרכז הכובד (Center of gravity) הינו נקודה המחושבת באופן מתמטי (כממוצע משוקלל, למי שמתעניין), אין מניעה שהוא יהיה מחוץ לגוף, והוא גם אינו מזוהה עם מיקום ספציפי כגון טבור או סרעפת. הרמת ידיים, למשל, תגרום למרכז הכובד לעלות כלפי מעלה מכיוון שכעת, חלק גדול יותר של מסת הגוף מרוכזת בחלק העליון.

החשיבות העצומה של מרכז הכובד היא שהיא מאפשרת להתייחס לגוף מורכב,  בהרבה היבטים פיזיקליים,  כאילו הייתה מסתו מרוכזת בנקודה אחת, דבר המפשט באופן ניכר את הניתוח של תנועתו במרחב (כתבתי על כך בהקשר של יציבות  חיצי הטלה).

בחזרה לרקדנים ולמחזיק היין. כעת אנו יכולים לנסח את העיקרון הפיזיקלי:
על מנת שגוף יהיה יציב, על מרכז הכובד שלו להיות מעל בסיס התמיכה.
(בתנוחת עמידה, למשל, בסיס התמיכה הוא כפות הרגליים והשטח שביניהם. בסיס של  ספר יהיה השטח הבא במגע עם השולחן, ובסיס התמיכה של השולחן יהיה המלבן המקיף את רגליו).

מרכז הכובד של הרקדן אינו נמצא מעל בסיס התמיכה שלו (כפות רגליו) ולכן הוא אמור ליפול. באופן דומה, מרכז הכובד של הרקדנית אף הוא לא נמצא מעל בסיס התמיכה שלה (כפות רגליה), אבל – מרכז הכובד המשותף של הזוג, נמצא מעל לבסיס התמיכה המשותף, כלומר כפות רגליו של הרקדן ולכן ביחד מושגת יציבות! יש כאן גם משל יפה: הגבר כשלעצמו אינו מאוזן, וכך גם האישה, אבל הזוגיות בניהם יוצרת איזון שלא היה קיים עבור כל אחד בנפרד. כפי שניתן לראות, אותו ניתוח בדיוק תופס גם לגבי מחזיק היין (המקביל לרקדן) ולבקבוק היין (הרקדנית). אגב, מי שרוצה להכין מחזיק יין שכזה לבת/בן זוגו כמשל לזוגיות מאוזנת הנה הוראות.

הנה עוד דוגמה לזוגיות יפה. הגלגל הקדמי של הטרקטור כשל, ולכן בסיס התמיכה הצטמצם למשולש המחבר את שלושת הגלגלים הנותרים. הצרה היא, כמובן, שכעת מרכז הכובד של הרכב אינו נמצא עוד מעל בסיס התמיכה המוקטן! הפתרון: נשים את הגברת מאחור על מנת שמרכז הכובד החדש יזוז אחורנית והיציבות המופרת תושב.

ביל דן (Bill Dan), שהוא אמריקאי ממוצא אינדיאני, הביא את עקרון היציבות לדרגת אמנות. את הסלעים שהוא מוצא על קו החוף, הוא מסדר באופן מעורר השתאות ללא הדבקה או תמיכה חיצונית כפי שניתן לראות באתר שלו  Rock on Rock . בתמונה המצורפת משמאל, החץ הירוק העליון יוצא ממרכז הכובד של הסלע העליון, הנמצא מעל בסיס התמיכה של הסלע. החץ האמצעי, מייצג את מרכז כובד המשותף לשני הסלעים העליונים, והוא מצידו נמצא מעל בסיס התמיכה השני, בעוד שהחץ התחתון מייצג את מרכז הכובד של כל הסלעים, הנמצא מעל בסיס התמיכה התחתון. מדהים!  אגב, הוא גם מעביר סדנאות בהן לומדים איך לחוש את הרוח (Spirit) של הסלע, וכך לקבל הנחייה ישירה כיצד לאזן אותו. אינדיאני , אמרנו.

לסיום, הנה קטע חביב מתוך הסרט הצרפתי החברים של ניקולא, בו הילדים מיישמים בנוכלות את עקרון היציבות כדי להרוויח כמה פראנקים. מסתבר שהפיזיקה יכולה להיות מעשית בדרכים לא צפויות…

ניקולא – מרכז הכובד – The best home videos are here

"פשטות היא הסיבוך האולטימטיבי" (לאונרדו דה וינצ'י)

גשם מטפטף על חלון, טרטור מקרר, השכן מתאמן בחצוצרה, הד מכוניות מהרחוב – המרחב בו אנו חיים הנו אוקיינוס שוקק של גלי קול, שגם  בפינותיו השקטות ביותר 'מתנגן' פס קול שלא ניתן להעלימו. אבל מה הם בעצם גלי קול, וכיצד הם נוצרים? האם יש מכנה משותף לכל הקולות, בין אם הם נעימים או צורמים, חזקים או חלשים?

לאונרדו דה-וינצ'י היה כנראה הראשון ששיער שהמקור של כל קול, רעש או צליל הוא ויברציה: משהו היכן-שהוא רועד, רוטט, מתנועע.  אותה רעידה מזיזה את האוויר הסמוך, שמזיז את האוויר הסמוך אליו….וכך הלאה במעגלים הולכים וגדלים עד לאוזן הקולטת (ראה אנימציה). מה שעובר הוא התנועה או האנרגיה, ולא האוויר עצמו – וזו התכונה הבסיסית של גל בהיבט הפיזיקאלי. קל לראות את מיתר הגיטרה רוטט או לחוש עם היד את הרעד שמיצרים מיתרי הקול, אך האם 'השערת הויברציה' נכונה במקרה של משטח מתכתי ?  ניסוי פשוט יוכיח שכן: כאשר נכה על גונג או מצילה, ואז נתפוס בחזקה את המתכת משני צדדיה, הצליל ייחתך מיד. אכן, הפסקת התנודה קוטעת את יצירת גלי הקול.

לאונרדו דה-וינצ'י  1452–1519

תחת השפעת חוש הראייה עולה הרושם שהעולם שסביבנו  יציב וקבוע, אך במציאות הוא ברטיטה מתמדת. אכן, איננו מסוגלים לראות רטט מהיר וזעיר, אך אנו בהחלט יכולים לשמוע אותו!  (לא מדובר כאן על הרטט התרמי הנובע מטמפרטורת הגוף, אלא על תנודה גסה יותר). לדוגמה, כאשר אנו חובטים על השולחן נשמע קול, אך לא נראה שדבר מה רוטט. למעשה, פני השולחן מתנועעים, אך משום שהרטט מרוסן בחוזקה מתקבל צליל קצר ועמום. לעומת זאת, חומרים אלסטיים שתנועתם אינה מוגבלת, ישמיעו צליל מתמשך ובהיר יותר.  מוזר לחשוב על מוצקים כישויות רוטטות, אך מצלמה מהירה ביותר, מהסוג המשמש בתוכנית Time Warp,  מאשרת באופן חד-משמעי את תובנותיו של דה-וינצ'י.

בסביבתו של גוף רוטט נוצרת תנועה מחזורית של מולקולות גז המתפשטת במרחב כגל. במקום בו הגל חולף, לחץ האוויר עולה זמנית ואז מיד יורד, ממש כשם שגלים בים מעלים ומורידים במחזוריות את מפלס המים. האוזן הינה מד לחץ רגיש המסוגל לתרגם את השינויים הללו לסיגנלים חשמליים זעירים המולכים דרך עצב השמיעה אל המוח, וזה המקום בו הם מקבלים משמעות קוגניטיבית ('אה, דפיקה בדלת'). אגב, היותה של האוזן מד-לחץ מורגש בירידה למקומות נמוכים (לחץ אוויר גבוה) או עליה למקומות גבוהים (לחץ אוויר נמוך).

קולן רוטט יוצר שינוי לחץ מחזורי המתפשט כגל

כלב נובח בלילה, גורם לנו להתעצבן, אך אם נחשוב על כל שרשרת השינויים המתחוללים במרחב בשבריר שנייה  – החל מרטיטת מיתרי הקול של הכלב, דרך התפשטות גל הלחץ באוויר ועד הפענוח של הסיגנלים החשמליים במוחנו, והמשמעות שהם מקבלים – אין ספק שנזכה לחוויה מזככת שתקל עלינו לחזור למיטה בשלווה. ובאותו הקשר, דיונים מטאפיזיים רבים נקשרו בשאלה המפורסמת שהגה הפילוסוף ג'ורג' ברקלי : "אם עץ נופל ביער, ואין איש (כלומר אין שום יצור חי) שישמע אותו, האם הוא בכל זאת משמיע קול?" לעניות דעתי, אין מדובר כאן בשאלה אמיתית, אלא בעניין סמנטי גרידא: למה אנו מתכוונים במילה 'קול' ? אם הכוונה היא לרטט המועבר כגל לחץ באוויר, אזי התשובה לשאלה היא 'כן' ואילו אם כוונתנו למשמעות הקוגניטיבית הנוצרת במוח, אזי התשובה היא 'לא', ויסלח לי ברקלי אם פספסתי פה משהו.

לאונרדו דה וינצ'י יישם את רעיון הויברציה גם לעולם החרקים. עד לתקופתו, הסברה המקובלת הייתה שהחרקים משמעים קולות מפיהם (1), וזו סברה – איך לומר בעדינות – מאוד לא הגיונית. ניקח כדוגמה את הדבורה. אמנם בסיפורי הילדים, הדבורה החביבה פוצחת בזמזום המהווה חלק בלתי נפרד מאופייה החינני, אך במציאות הביולוגית, אין דבר מסוכן יותר עבור חרק זעיר (=מנת חלבון עסיסית) מלהשמיע סיגנל רציף המסמן לטורפים בכל רגע היכן הוא נמצא. יותר סביר להניח, שזמזום הדבורה מופק בעל כורחה, ובניגוד גמור לאינטרס השרידה שלה. אבל מה יכול לגרום לצליל זה? לאונרדו, אמן ההתבוננות הקפדנית, שיער שהנפנוף המחזורי של כנפי הדבורה (ושל חרקים רבים אחרים) הוא מקור הויברציה המחוללת את גלי קול.  בפעם הבאה שיתושה תזמזם באוזניכם, זכרו שנפנוף כנפיה הוא המציל אתכם מעקיצה, ואילו יכלה לוותר על הזמזום היא הייתה עושה זאת בשמחה.

הדבורה מאיה – רעיון יפה, אבל לא עובד במציאות

הבה נראה כעת כיצד לשדרג את לאונרדו לעידן הדיגיטאלי. האתגר יהיה, לגלות את תדירות נפנוף כנפיה של דבורה רק מתוך קובץ הקול של הזמזום!  לצורך כך, נעזר בתוכנה חופשית לעיבוד גלי קול (למשל WavePad או Audacity) שלתוכה נטען את קובץ הזמזום (3). מכיוון שהדבורה מנפנפת בקצב אחיד, נוכל לזהות בתבנית הגל יחידות החוזרות על עצמן, שכל אחת מהן מייצגת חבטת כנף יחידה. תדר הנפנוף יהיה אחד חלקי פרק הזמן של נפנוף בודד. צרפתי הדרכה לטובת מי שירצה לנסות בעצמו:

והנה הנפנוף בקצב של 5000 תמונות בשנייה, מוקדש לגאון הרנסאנס שהקדים את זמנו.

קישורים והערות
1. המדע של לאונרדו / פריטיוף קפרה בהוצאת דביר (המקור באנגלית)
2. סקירה מקיפה על לאונרדו והישגיו בבלוג של ד"ר גלי ויינשטיין
3. לסקרנים: ניתן לטעון לתוכנה מגוון של קבצי קול ולנתח אותם. למשל: מסוק ממריא (מה תדר סיבוב הרוטור?), מנוע של רכב (מה הסל"ד?) , מכסחת דשא, פופקורן במיקרו ועוד. את ההקלטות ניתן לבצע בקלות בעזרת רוב הטלפונים הסלולריים או להוריד ישירות  דגימות קול מהאינטרנט. אם מצאתם משהו מעניין – אנא צרפו לינק בטוקבק.

מסתבר, שתעופה אינה המכנה המשותף של כלל העופות, כפי ששמם מרמז. למשל, פינגויין,יען ותרנגול הינם עופות מובהקים שאינם מעופפים. מהו, אם כן, אותו מכנה משותף לנשר, נחליאלי, פיגווין וברווז? התשובה היא נוצות. אותו איבר מופלא – קל, חזק, גמיש, מבודד מחום וקור – הוא המבדיל בין העופות לשאר יצורי תבל. מכאן, שהיה מדויק יותר להגיד בעברית 'נוץ' במקום 'עוף'.

על מנת שציפור תוכל להתעופף, גופה צריך להיות שונה מהותית מגוף של יונק. כל פרט בגופה של הציפור בנוי כך שמשקלו יהיה נמוך ככל האפשר: העצמות חלולות (אך מחוזקות מבפנים), היעדר לסת כבדה של יונק (ולכן אין לציפור שיניים) וכמובן, הנוצות. מסביר זאת  יפה חוקר הטבע  דיוויד אנטנברו:

צפיפות של ציפורים – The best home videos are here

נתמקד כעת בבעלי כנף הניזונים מדגים. ציפורים אלו, למעשה נמתחות בין שתי דרישות קוטביות: מצד אחד צפיפותן הממוצעת חייבת להיות נמוכה על מנת שתוכלנה לעופף (בסביבות 0.7 גרם/סמ"ק), ומאידך, על מנת לצלול, אותה צפיפות צריכה להיות  גדולה מ-1 גרם/סמ"ק, שהיא הצפיפות של מים. פתרון אפשרי אחד, הוא להבקיע את המים במהירות גבוהה כפי שעושים השלדג והפרפור העקוד הצוללים אל המים אך לא צוללים בתוך המים. מובן כי, היכולת לאתר דג-מטרה מגובה כמה מטרים דורשת תנאי ראות טובים אותם ניתן למצוא רק במקורות מים שקטים.

שלדג  שולה דג

אך מה תעשה ציפור שצריכה לשהות פרק זמן ארוך יותר בתוך נחל שוצף? למשל, הציפור 'אמודאי' (dipper) השוכנת באזורים קרים, זקוקה לאוויר בין נוצותיה המשמש כחייץ מבודד המונע מגופה לאבד חום לסביבה (אגב, שמיכות הפוך מבודדות לא בזכות הנוצות שבהן אלא בזכות האוויר הכלוא בין הנוצות). למרבה הצער, אוויר זה מקשה עליה לצלול, ולכן עליה להיאחז בכל כוחה בקרקעית בעזרת רגליה, מה שמגביל את משך הצלילה ומקטין את סיכוייה לצוד.

אמודאי – ציפה ושקיעה – The best home videos are here

באזורים חמים יותר, אין צורך בשכבת אוויר מבודדת, ולכן עוף המתמחה בציד דגים יכול להספיג את נוצותיו במים ובכך להעלות את צפיפותו הממוצעת. בדומה לצוללת המחליפה אוויר במים על מנת לשקוע, יכולה ציפור בשם נחשון (Darter) לשהות זמן ממושך מתחת למים ובכך להוות איום קטלני על דגים שאננים.

נחשון – ציפה ושקיעה – The best home videos are here

קרדיט: כל הסרטונים מתוך  Animal Planet של BBC.

עוד בנושא:
על ציפה וחוק ארכימדס
נדידת הציפורים
איך פועלת צוללת (אנימציית פלאש)

מדוע מכסה הירח באופן כמעט מושלם את השמש בזמן ליקוי חמה מלא?

NASA – Astronomy picture of the day

תשובה: כי זווית הראיה של שניהם שווה.

מצד אחד זו תשובה מדוייקת וממצה, ומצד שני לכתוב פוסט של שלוש שורות זה לא רציני. אז נסביר.

ברור שהשמש גדולה יותר מהירח, לכן היינו מצפים שהיא גם תראה גדולה יותר. מצד שני השמש רחוקה מכדור הארץ  יותר מהירח, לכן היינו מצפים שהיא תראה קטנה יותר. מה משפיע יותר, המרחק או הגודל? למעשה, שניהם משפיעים במידה שווה, אבל אף אחד מהם, כשלעצמו, אינו קובע, אלא השילוב בניהם היוצר מושג חדש - זווית ראייה.

שדה הראייה שלנו ממופה על הרשתית, הממוקמת בחלקו האחורי של גלגל העין. מהרשתית, המורכבת מחיישני אור מיקרוסקופיים (פוטורצפטורים) מועבר מידע חזותי למוח דרך עצב הראייה, ושם הוא הופך לחוויה סובייקטיבית של 'ראייה'. הגודל בו הגוף נראה תלוי בשטח אותו הוא תופס על הרשתית. אם נביט בחתך דו מימדי של העין, נוכל להתרשם ששטח זה מוגדר על ידי זווית הראש במשולש שבסיסו הוא הגוף (העץ בתמונה) וקודקודו באישון. זווית זו (או ליתר דיוק הטנגנס שלה) תלויה ביחס המתקבל בחילוק גודל הדמות למרחקה. מכאן יוצא, שאם גוף  גדול פי שניים אך גם מרוחק פי שניים, הוא ייראה באותו גודל בדיוק!

לדוגמא: שני העצים שבאיור (חלק עליון) שווים בגודלם, אבל העץ הקרוב נראה גדול יותר מכיוון שהזווית בה הוא נקלט גדולה יותר. לעומת זאת, שני העצים השונים (חלק תחתון) נראים באותו גודל כי הזווית שבה הם נקלטים שווה.

כעת נשאל: מי נראה גדול יותר, השמש או הירח?

את התשובה ניתן לקבל על ידי חישוב זווית הראייה של הירח והשמש, כלומר על ידי חלוקת קוטר במרחק, פעם עבור השמש ופעם עבור הירח, והשוואת התוצאות – אך ניתן לעשות זאת בעזרת צילומים.

שמש שוקעת מערבית לנתיבי איילון. צילום: א.פרבר

ירח מעל מצפה רמון. צילום: א.פרבר

את שתי התמונות צילמתי באותה רזולוציה, וחתכתי משתיהן (בעזרת crop) את הירח והשמש בריבועים שווים. כעת, ניתן להשוות בין הגדלים:

על שתי התמונות 'הולבשה' גרפיקה של עיגול, שמכסה בקירוב טוב את השמש והירח ובכך ממחישה את השוויון של זוויות הראיה (התמונה המתקבלת בחיישן הדיגיטלי מקבילה לתמונה המתקבלת על הרשתית).

בזמן ליקוי חמה, הירח מסתיר בדיוק את השמש מכיוון ששניהם נצפים באותה זווית, כפי שממחיש האיור. היחס בין מרחק השמש (לכדור הארץ) לקוטרה הוא בקירוב 1:100 וזה גם היחס בין מרחק הירח לקוטרו. באופן דומה, אותה גאומטריה מסבירה מדוע מטבע שקוטרו 1 ס"מ במרחק של מטר מהעין יכסה בקירוב מצוין את הירח. מדוע בקירוב? מכיוון שהירח אינו חג סביב הארץ במסלול מעגלי מושלםו: לעיתים הוא קרוב יותר במעט (Perigee) ולעיתים רחוק יותר (Apogee).

גם מסלולו של כדור הארץ אליפטי קמעה, כך שמרחקה של השמש מכדור הארץ אינו קבוע

משמעות ההבדלים היא, שגודלם הזוויתי של השמש והירח משתנה באחוזים בודדים ולכן מי שמחפש שלמות מתמטית פשוטה בגרמי השמיים יתאכזב (ראה ציטוט של פאסקל בראש הרשימה).  מאידך, הדבר מסביר תופעה הנקראת 'ליקוי חמה טבעתי', בו מתקבלת הילת  אור יפה סביב הירח במקרים בהם זווית הראיה שלו קטנה יותר.

מתוך Astronomy picture of the day

לסיום, תמונה משדרות בן-גוריון פינת דיזינגוף, רגע לפני שהשמש צוללת לים. בצירוף מקרים יפה, יצא שזווית הראיה של השמש (יחס של 1:100 בין מרחק לגודל) הייתה גם זווית הראיה של אורות הרמזור מהמקום בו צילמתי.

למאטיס יש את השמש באופנוע. צילום א.פרבר

_____
- הכותרת היא, כמובן, פראפרזה על "שֶׁמֶשׁ בְּגִבְעוֹן דּוֹם, וְיָרֵחַ, בְּעֵמֶק אַיָּלוֹן"  (יהושוע י, יב)
- לחובבי הג'אנר: כתבתי כאן על "כמה גדול ורחוק הירח"

גיליתי השבוע מאמר מרתק (הפניה בסוף) מאת מורה ותיק לפיזיקה, איטלקי בשם לאונרדו קולטי. מזה שנים שואל קולטי את עצמו, מהו המסר החשוב ביותר בנוגע לפיזיקה שראוי להעביר לתלמידיו? מהו המינימום המשמעותי שאין להתפשר עליו, אותו יוכלו התלמידים לקחת להמשך לימודיהם (ולחיים) כצידה? מובן, שאין הוא מחפש ידע מסוג שהוא, שכן ידע, כשלעצמו, לעולם אינו מטביע רושם עמוק בלבבות.

קולטי מתמקד במה שהוא מכנה 'הגישה מדעית' (Scientific attitude). אין כאן הכוונה לשיטה המדעית (או המתודולוגיה המדעית), שכן קיים קונצנזוס רחב שאין בנמצא שיטה מדעית יחידה המאגדת את כל הסגנונות המדעיים באשר הם -  מדענים שונים הגיעו לתגליות במגוון דרכים, באופן החומק מהגדרה כללית.  מהי, אם כן, הגישה המדעית? על פי קולטי, "הגישה המדעית שואפת להגיע לתוצר סופי, אינטר-סובייקטיבי (כלומר, ניתן לשיתוף, אך ללא בטחון באובייקטיביות, או באמיתות שלו), בעל יכולת ניבוי, שניתן להעמידו לביקורת. בנוסף, על תוצר זה לעלות בקנה אחד עם עבודות מדעיות קודמות."

למרבה הצער, זו הגדרה מסורבלת, שאינה אומרת דבר וחצי דבר לאנשים צעירים, ועל כן מציע קולטי תיווך בעזרת סיפורים. מעט כשרון דרמטי מצדו של המורה, והשיעור הראשון במדעים יכול  להיות חוויה מבדרת, שממנה – זו התקווה – תצמח בעתיד הבנה. סיפור המשל הראשון לקוח מהספר עולם רדוף שדים של האסטרופיזיקאי המיתולוגי  קארל סייגן, והוא הולך בערך כך:

דרקון בגראג'
יום אחד, מגיע חבר שלך בהתרגשות ומספר שיש לו דרקון בגראג'. לא פחות. על מנת שלא להעליב, ומתוך סקרנות מדעית לשמה, אתה מחליט ללכת איתו ולבדוק בעצמך. בחינה שטחית מגלה שאכן יש שם מה שיש בדרך כלל בגראג', אבל בשום פנים ואופן לא דרקון. ההסבר של החבר הוא שמדובר בדרקון בלתי-נראה. "בסדר," אתה אומר, "נפזר אבקה על הרצפה, ואם הדרקון יזוז נראה טביעות רגל".  על כך החבר משיב שהדרקון הוא מהסוג שכל הזמן מרחף באוויר.  תשובה מפתיעה זו גורמת לך להרהר קצת: "אוקי," אתה אומר, "אז נרסס צבע באוויר", ומציע גם למדוד את הטמפרטורה במקומות שונים בגראג', או אפילו להשתמש במצלמת אינפרא-אדום. אבל גם כאן החבר מתנגד בעיקשות, בטענה שמדובר בדרקון לא-חומרי היורק אש קרה שאינה ניתנת לגילוי בעזרת מכשירים גשמיים. וכך שוב ושוב, כנגד כל הצעה לבדיקה פיזיקאלית שאתה מעלה, מביא החבר הצדקה אד-הוק לכך שהיא תכשל.

קארל סייגן מנסה להראות כאן, שטענה מדעית חייבת להיות ברת-בדיקה – זה הבסיס. המדע, שבו הפיזיקה מוליכה את הדרך, מרוצף טענות הניתנות לבדיקה אמפירית. עם זאת, הדברים אינם כה פשוטים. הפילוסוף עמנואל קאנט הראה כי המציאות עצמה (או הממשות האובייקטיבית) לעולם תוותר מחוץ לתחום הכרתם של החושים, ועל כן אין המדע שואף לידיעה אובייקטיבית של המציאות (במובן הפילוסופי) אלא לידע אינטר-סוביקטיבי (דהיינו – משותף לאנשים רבים, אך ללא בטחון באובייקטיביות שלו). העמידה במבחן (testability) היא הדרך הבטוחה להשגת ידע שאותו ניתן לשתף, ולהתבסס עליו בקהילה חוקרת – זו מטרתו הנאצלת של המדע. כיצד מעמידים טענה למבחן? על ידי מדידה, תוך שימוש במכשור מתאים. כאן גם נכנסת לתמונה המתמטיקה, שהיא השפה האוניברסאלית המאפשרת תרגום של טענות מדעיות למבחני מדידה; זאת ועוד, בלעדיה לא ניתן להלביש את הידע המדעי במבנים קוהרנטיים וכלליים.

מעניין לציין, לצורך השוואה, שתוצרים של אמונה, פילוסופיה, אומנות, שירה וכדומה, מעצם טבעם אינם כפופים לקריטריון העמידה במבחן. תוצרים אלו הינם בוודאי  סוג של ידע (או ידיעה), ברם ידע זה השונה מהותית מהידע המדעי שהינו, כאמור, אינטר-סובייקטיבי: ידע שעמד במבחן הבדיקה האמפירית. אך מדע טוב דורש יותר מזה. על המדען הרציני לבחון טענותיו במה שמכונה 'כנות אינטלקטואלית' או 'ביקורת נטולת פניות'  מה שמוביל אותנו למשל הבא, המיוחס לפילוסוף קארל פופר, למרות שהוא לקח אותו מהמתמטיקאי ברטרנד ראסל.

מה שהתרנגול לא ידע
בחווה היה תרנגול הודו שקנה לו שם בחריפות שכלו ובתשוקתו ללמוד מתוך התבוננות ערנית בסביבתו. אותו תרנגול שם לב לרצף אירועים המתרחש יום ביומו. בכל בוקר השמש זורחת, עובר זמן מה, ואז האיכר מגיע ומאכיל אותו ואת חבריו. לא עבר זמן רב והתרנגול הנבון ניסח 'חוק טבע' כדלקמן: בכל יום השמש זורחת, האיכר מגיע, ואז מקבלים תירס. וכך, בסוף כל יום, דילג התנגול על הגדר, הביט בחבריו מלמעלה והעיר: 'רואים, הנה הוכחה נוספת שמאששת את התיאוריה שלי!' ואכן, הידע של התרנגול הוא אינטר-סובייקטיבי לעילא – ניתן לבדוק את תקפותו על ידי תצפיות. חלף הקיץ, הגיע הסתיו, ובוקר אחד בנובמבר, לקראת סעודת חג ההודיה (Thanksgiving), השמש זרחה, האיכר הגיע  ו…שחט את התרנגול השנון.

מה מלמד סיפור זה? ראסל ופופר רצו להראות שאינדוקציה אינה יכולה להיות בסיס איתן לידע מדעי. במדע, אנו מחפשים חוקים אוניברסאליים, לכן זה פשוט לא הגיוני להסתמך על מספר סופי של תצפיות.  אינדוקציה תמיד הולכת מהפרטי לכללי, בעוד שדדוקציה גוזרת מקרים פרטיים מתוך חוקים כלליים. בואו נראה איך זה עובד בדוגמא פשוטה. לקראת שנת הלימודים, אתה מגיע למזכירות לברר אם התקבלת לקורס מסויים. המזכירה יכולה להשיב בקריאת רשימת התלמידים שהתקבלו: 'מיכאל – כן, יונתן – כן, אביתר – כן' וכו'. באופן זה, אתה עלול  להתפתות (באינדוקציה) למסקנה: 'כולם התקבלו לקורס'.  אך זו תהיה מסקנה שרירותית, גם אם הרשימה ארוכה מאוד, כלומר קיימים אישורים רבים לטענה. אבל המזכירה יכולה גם להשיב: 'כולם התקבלו' – במקרה זה אתה מסיק בדדוקציה שגם אתה התקבלת, וההיסק שלך נכון לוגית.

התיאוריה של התרנגול (בניגוד לתאוריית הדרקון) היא מדעית שכן היא ניתנת לבדיקה, אבל גישתו היתה לקויה, שכן הוא ביקש רק אישורים עבור התאוריה שלו, בעוד שהיה עליו לחפש דוקא דוגמאות מפריכות. כנות אינטלקטואלית פירושה לחפש במודע אחר פגמים וטעויות בתאוריה שלך, במקום לנסות לאשר אותה שוב ושוב באופן טריוויאלי. יש כאן כמובן לקח חשוב שחורג מההקשר המדעי: אם נהרהר בשלל הסטריאוטיפים, הדעות הקדומות, והעמדות הפנאטיות לסוגיהן – נגיע למסקנה (האינדוקטיבית?) שכולן נובעות מאותה גישה. חינוך מדעי טוב אמור להזהיר אותנו ממלכודות שכאלו, בייחוד כאשר אנו מזהים אותן בתוכנו.

זו לא מקטרת
נדבך נוסף בהקשר זה, נוגע למשמעות של תיאוריה מדעית. קולטי מספר שהוא מצייר על הלוח את כף ידו ושואל: 'מה זה?' התשובה האוטומטית היא 'היד שלך', אבל צריך לדייק: על הלוח יש  ציור המייצג היבט מסוים (היקף) של היד. זה אולי נראה טריוויאלי, אך הרבה פעמים – גם בקרב אנשי מדע – יש נטייה 'לשכוח' שהתאוריות אינן המציאות עצמה (ולעולם לא יהיו), אלא מודלים מופשטים שמטרתם לתאר היבט מצומצם של הממשות. המחשה לכך היא  ציורו המפורסם של רנה מגריט : "זו אינה מקטרת". שם קצת מוזר, כי בפירוש מצוירת שם מקטרת. אבל זה בדיוק העניין: אי אפשר לעשן את הציור (הגאוני) – זו  לא מקטרת. המציאות ותיאור המציאות לעולם תהינה ישויות נפרדות.

Colletti, L., "On dragons and turkeys: physics for future citizens",   School Science Review , June 2010

איך הוא עושה את זה? איך פועל הקסם?

הגול מרהיב, אבל מדוע מסלולו של הכדור מתעקם? נתחיל מהסוף.
עצם העובדה שהכדור אינו נע במסלול ישר, מצביעה על כך שלחץ האוויר בצד אחד גדול יותר מלחץ האוויר בצד השני. אבל מדוע שיתקיים הפרש לחצים? כאן בא לעזרנו (ולעזרת רוברטו קרלוס)  עקרון ברנולי הנגזר (כמה מפתיע) ממשוואת ברנולי. על פי עקרון זה, המהווה אבן פינה בניתוח זרימה של נוזלים וגזים באשר הם, לחץ של גז (או נוזל) קטן ככל שמהירות הזרימה שלו גדלה. זה מסביר מדוע החלונות נצמדים 'החוצה' כאשר נושבת רוח חזקה, שכן לחץ האוויר בחוץ נמוך יותר עקב תנועתו המהירה. אם פעם תהיתם מדוע גגות בתים נתלשים בסופות הוריקאן, או מדוע המטרייה מתהפכת כלפי מעלה ברוח – עכשיו זה ברור: הלחץ של אויר סטטי גבוה יותר.

בחזרה למגרש. כתוצאה מהבעיטה, הכדור נע קדימה (= יש לו מהירות קווית) אבל גם מסתובב סביב צירו (נניח שעם כיוון השעון). כעת, נשים לב שמהירות זרימת האוויר משני צדדי הכדור אינה שווה. מדוע? מצד שמאל, כיוון הסיבוב מנוגד לכיוון ההתקדמות הקווית של הכדור , ועל כן מהירות הזרימת האוויר מצד זה יחסית נמוכה. לעומת זאת, בצד ימין, כיוון הסיבוב של הכדור מתחבר למהירות הקווית של הכדור, ולכן המהירות שם גבוהה יותר. כפי שראינו, חוק ברנולי 'מתרגם' את הפרשי המהירות להפרשי לחצים  היוצרים כוח (הנקרא כוח מגנוס) המסיט את הכדור ממסלולו הישר, במקרה זה ימינה. מבלבל? עקבו אחרי אנימצית הפלאש (שמשום מה לא עובדת ב-explorer):

גם כאן מהלך העניינים מוסבר בצורה שווה לכל נפש (הגרפיקה מתחילה בערך באמצע):

הבהרות:
1. אפילו רונלדינו לא יכול לבעוט בעיטת בננה על הירח היות שאין שם אוויר, ואם אין אוויר, אין לברנולי מה להגיד.
2. אם האוויר לא היה צמיגי במידת מה, לא ניתן היה לבעוט בעיטת בננה. מדוע? הצמיגות מאפשרת לשכבה דקה של אוויר להצמד לפני הכדור ולהסתובב עמו, ובלי זה, לא היו הפרשי מהירויות בין שמאל וימין.
3. (לפיזיקאים) עקרון ברנולי אינו חוק טבע בסיסי, כמו למשל חוק הגרוויטציה -  הוא נגזר מתמטית מחוק שימור האנרגיה.
4. פעם, ספרי הלימוד הסבירו שעקרון ברנולי אחראי לעילוי על כנף של מטוס. מסתבר שהעניינים לא כל כך פשוטים. אריה מלמד-כץ מסביר מדוע.
5. לא צריך לדעת את כל זה כדי לבעוט בעיטת בננה. זוהי רק דרכם של החנונים לגעת ברגע של תהילה.

ועכשיו, בחזרה למונדיאל.

הנה ניסוי ביתי  מעניין:  נשים קוביית קרח בכוס מים, נסמן את קו המים בעזרת טוש או גומייה סביב הכוס, ונניח לקרח להפשיר. שאלה: האם מפלס המים בכוס יעלה, ירד או יישאר אותו דבר? חישבו על כך לרגע בטרם תמשיכו לקרוא.

התשובה היא שמפלס המים לא ישתנה. אבל, מדוע? אפשר להגיד שהמים הם אותם המים, אבל זה לא הסבר. יתר על כן, ה'היגיון' האינטואיטיבי לא יעזור לנו לקבוע, למשל,  מה יקרה אם נניח לקוביית קרח להפשיר בכוס של מי ים. נחוצה כאן איזו תיאוריה.

העיקרון הפיזיקאלי שבו נוכל להעזר נקרא חוק ארכימדס. עקרון זה קובע כי כוח הציפה, כלומר הכוח שפועל כלפי מעלה על גוף השקוע בנוזל, שווה למשקל הנוזל הנדחה על ידי הגוף. ככל שהגוף דוחה יותר נוזל, כך יפעל עליו כוח ציפה גדול יותר (זה גם עובד בגזים כפי שכתבתי כאן). כמו כן, ככל שהזורם הנדחה צפוף יותר, כך משקלו גדול יותר ולכן על פי חוק ארכימדס הוא יפעיל כוח ציפה גדול יותר. למי שלא הבין עד עכשיו מדוע צפים בקלות בים המלח – זו הסיבה.  הדבר גם מבהיר מדוע כשאדם טובע מנפנף בידיו הוא מאבד מכוח הציפה שלו ולכן נוטה לשקוע (הידיים הרי היו שקועות במים ולכן דחו נוזל). חוק ארכימדס גם מסביר יפה מדוע לווייתנים מניפים את זנבם מעל למים רגע בטרם ישקעו במצולה – הוצאת הזנב מקטינה את העילוי מבלי לשנות את המשקל ובכך יוצרת כוח נטו כלפי מטה.

בחזרה לניסוי: אם קוביית קרח צפה על גבי מים, הרי שהמשקל שלה, שהוא הכוח המושך כלפי מטה, חייב להשתוות לכוח הציפה הפועל כלפי מעלה (אלמלא הכוחות היו מאוזנים, גוש הקרח לא היה נמצא במנוחה).  מכאן, שמשקל הקובייה שווה, על פי חוק ארכימדס, למשקל המים שאותו היא דוחה. כאשר הקובייה מפשירה היא כבר לא דוחה מים, ולכן המפלס צריך לרדת – זה מה שהיה קורה אילו היינו פשוט מוציאים את הקובייה החוצה. אולם ההפשרה  מוסיפה מים לכוס באותו משקל בדיוק, שכן המסה אינה משתנה כאשר חומר משנה מצב הצבירה (ע"פ חוק שימור החומר). כלומר, משקל המים הנדחים שווה למשקל המים המופשרים ולכן המפלס נותר קבוע.

האם נקבל את אותה תוצאה כאשר קוביית הקרח תצוף במי ים? כמו קודם, על פי  חוק ארכימדס, משקל הקובייה שווה למשקל המים הנדחים. אבל נשים לב, שהיות שמי-ים צפופים יותר ממים רגילים (בערך בשלושה אחוזים), הנפח שאותו משקל תופס קטן יותר. כלומר, נפח המים הנדחים על ידי הקובייה קטן יותר מאשר במקרה של ציפה במים לא מלוחים. לעומת זאת, נפח המים שיתקבל כאשר קוביית הקרח תפשיר אינו משתנה, ולכן בסך הכול, הפשרת הקובייה בתנאים אלו תביא לעלייה קטנה במפלס המים.

רבות נכתב אודות ההתחממות הגלובאלית אשר מפשירה את הקרחונים, ובכך מאיימת להעלות את מפלס האוקיינוסים ולהציף את ערי החוף, אך לפי מה שגילינו,  הדבר אינו  אפשרי כלל, שהרי קרחון בים הוא גרסה מוגדלת של קרח בכוס! הפיזיקה כמובן נכונה, אלא שבתסריט ההפשרה הגלובאלית אין מדובר על קרחונים צפים אלא על קרחונים יבשתיים המגירים מים או גולשים בדרמטיות לתוך האוקיינוס – וזה בהחלט מעלה את המפלס כפי שיודע כל מי שנכנס לאמבטיה. לכך מצטרפות עוד שתי תרומות קטנות: האחת נובעת מכך שכאשר מחממים נוזל נפחו גדל במקצת (כמו כספית במדחום, למשל), וזה מה שקורה למי האוקיינוסים כאשר הטמפרטורות עולות – הם פשוט תופסים קצת יותר נפח. התרומה השנייה קשורה לכך שמנגנון הקפיאה של מים-ים 'מנקה' אותם ממלח (יוני המלח אינם משולבים בתוך המבנה שיוצרות מולקולות המים), ולכן כאשר קרחון מפשיר מתקבלים מים 'מתוקים'. כפי שראינו קודם, במקרה זה תהיה עלייה קטנה במפלס המים גם עבור קרחונים צפים בשל הפרש הצפיפויות (ראה ניסוי כאן). לא ברור אם אכן תסריטי האימה של הירוקים יתממשו, אבל לטעון שהם שוגים בגלל ניסוי הקרח בכוס – זה לא רציני. אגב, מסקנה מעניינת מחוק ארכימדס היא שכאשר קרחון שקוע במים, 92 אחוזים ממנו נמצאים מתחת לפני המים, וזה מן הסתם המקור לביטוי 'קצה הקרחון' וגם מה שגרם לטביעת הטיטאניק.

באותו עניין, נסיים בחידה מפורסמת אודות פיל גדול העומד על רפסודה באמצע אגם. השעה שעת צהריים, השמש קופחת, והפיל מחליט לרדת מן הרפסודה ולהשתכשך במים. נניח שהפיל כולו נכנס למים, ושהוא שוקע (כלומר, צפיפותו הממוצעת גדולה מצפיפות המים. ראה ציור). האם כתוצאה מירידת הפיל מפלס המים ישתנה?  אם כן, האם ירד או יעלה? מי שרוצה לנסות לפתור שיעצור כאן.

דרך יפה להסביר את הפתרון היא על ידי הקצנה. נדמין שבמקום פיל יש לנו על הרפסודה חומר צפוף ביותר: סיכה מיוחדת מכוכב ניוטרונים שמסתה טון. על פי חוק ארכימדס, משקל המים הנדחים שדרוש כדי לאזן את הסיכה על גבי הרפסודה הוא של טון. אם הסיכה תיפול מהרפסודה למים, מפלס המים ירד כי היא לחצה את הרפסודה מטה בחוזקה ובכך גרמה לבולי העץ  לדחוק יחסית הרבה מים. אבל, היות שנפח הסיכה כה קטן, כניסתה למים לא תתרום כמעט דבר להעלאת המפלס. מכאן שבסך הכל, מפלס המים ירד.
במקרה של הפיל ההגיון זהה: היות שהפיל 'דחוס' יותר ממים, נפח המים הדרוש לאזנו על הרפסודה גדול מנפח המים שגופו דוחה כאשר הוא נכנס לאגם,  ולכן המים ירדו יותר מאשר יעלו.