מדע ושאר רוח

אל חוקרי המשטרה הגיעה התמונה הבאה שבה נראה זוג נופל מגשר. בתמונה ניתן לראות את הגבר (בוב) קופץ אחרי האישה (קלרה).

בחקירה, סיפר בוב כי ראה את קלרה נופלת מהגשר, ואחרי בערך שלוש שניות קפץ אחריה. מכיוון שקלרה נפצעה והגישה תלונה, ניסו החוקרים לבדוק את טענתו של בוב שהפך לחשוד מרכזי. השאלה היא, האם מתוך התמונה בלבד ניתן להעריך את הפרש הזמנים?

התשובה, כמובן, חיובית.

כאשר גוף נופל בנפילה חפשית, כלומר בהשפעת כוח הכובד בלבד, מהירותו הולכת וגוברת בקצב של 9.8 מטר לשנייה - ערך זה נקרא תאוצת הכובד ומסומן באות g (לכבוד gravity). כאשר  גוף נע במהירות קבועה, המרחק שהוא עושה שווה למהירות כפול הזמן, אבל מה יהיה המרחק במקרה שבו המהירות מואצת?  התשובה לכך נובעת מטכניקה מתמטית פשוטה (הנקראת אינטגרציה), והנה היא לפניכם:

(כאשר d הוא המרחק שעשה הגוף במטרים במהלך הנפילה, t הוא פרק הזמן שחלף מתחילת הנפילה, ו-g כפי שציינו, היא תאוצת הכובד).
זוהי נוסחה שימושית ביותר כאשר רוצים לגלות, למשל,  עומק של באר או גובה של מבנה – פשוט נפיל אבן ונמדוד כמה זמן חולף עד לרגע הפגיעה בתחתית. נניח שחלפו 2 שניות. על פי הנוסחה, המרחק שהאבן עשתה הוא בקירוב (נעגל את 9.8 ל-10): 2 בריבוע כפול חמש, כלומר 20 מטרים. אם חלפו 3 שניות, המרחק יהיה 3 בריבוע כפול 5, או 45 מטרים.

בחזרה לתיק הפלילי.
אם נניח שגובהו של בוב (d1) הוא 1.70 מטר, נוכל ידי שימוש בקנה מידה להסיק שהמרחק שהוא נפל (d2) הוא 3 מטרים. באופן דומה,  המרחק שקלרה נפלה (d3) הוא 5.90 מטרים. מי שרוצה לבדוק בעצמו, מוזמן להדפיס את התמונה ולמדוד את המרחקים עם סרגל.

מה כל זה עוזר לנו? נשים לב, שבנוסחה שהוצגה, ניתן להשתמש גם על מנת לגלות את זמן הנפילה. אם ידוע המרחק (d), עלינו לחלקו ב-5 ואז להוציא שורש ריבועי. מכאן, שעל פי מרחקי הנפילה שגילינו, עולה שקלרה שהתה באוויר 1.1 שניות, ואילו בוב, משהו כמו 0.8 שניות, מה שאומר שהוא קפץ 0.3 שניות אחריה, ולא 3 שניות כפי שהוא טען. באמת בוב, על מי אתה מנסה לעבוד?

נוסחת הנפילה החפשית יכולה להיות שימושית גם עבור "אגדת עם מקסיקנית", שירו המבריק של מאיר אריאל אודות שני מקסיקנים שלומיאלים:



שאלה: כמה זמן נפל חואן לתהום?
תשובה: על פי מילות השיר:

חואן, כמו שהוא מהלך לו
שקוע באיזה חלום
לא פוקח עיניו, מחייך ומגחך לו
חוזה, איפה יש כאן תהההההההההההההההווווום

מדובר על פרק הזמן מהרגע שבו הוא מתחיל לזעוק עד לרגע החבטה. לא התעצלתי, ומדדתי בערך שש שניות. תוכלו לאשר זאת בעצמכם:

שאלה: מה עומק התהום?
תשובה: על פי הנוסחה, עלינו לכפול 5 בריבוע של 6, וזה נותן לנו 180 מטר. אבוי, חואן האומלל נפל מגובה השווה בערך למגדלי עזריאלי.

שאלה: האם התוצאה עקבית עם מה שמוזכר אחר כך בשיר?
תשובה: בהחלט!

חוזה משלשל מיד חבל
איזה עשר דקות כך עוברות
הוא ימשוך גם ימשוך הוא נכון לכל סבל,
ברם חואן שתי ידיו קצת שבורות

עשר הדקות שעוברות הן 600 שניות, ובמשך זמן זה משלשל חוזה חבל של 180 מטרים. אם נניח שהוא משלשל אותו בקצב קבוע, יוצא שהוא מוריד 30 ס"מ כל שניה – סביר ביותר.  מאיר אריאל הוא רב-מג של מילים, אבל כאן הוא גם מוכיח אינטואיציה פיזיקלית מדוייקת!

קישורים
על נפילה חופשית של פוליטיקאים כתבתי כאן
"צולל חפשי ללא מצנח, ולכל הכיוונים נפתח" – נפילה חפשית בשיר "נשל הנחש"
ואגב, מאיר אריאל כבר התארח בבלוג ברשימה "על שירה, רצון ואבולוציה"

מה שוקל יותר קילו ברזל או קילו נוצות?
גם אם נראה לך שהתשובה ברורה מאליה, המשכי/י לקרוא. כמעט בטוח שצפויה לך הפתעה.

ראשית עלינו לברר, מה הכוונה ב-'שוקל'. אם הכוונה היא לכמות החומר ('מסה' בלשון הפיזיקה) אז קילו ברזל אכן 'שוקל' בדיוק כמו קילו נוצות. אגב, זו המשמעות הנפוצה והשגויה למושג 'משקל'. למשל, כאשר אדם אומר 'אני שוקל 60 קילו' הוא בעצם מתכוון למסתו  ולא למשקלו. אם כן, מהו אותו 'משקל'?

לפיזיקה יש הגדרה חד-משמעית: משקל הוא הכוח שמפעיל שדה כבידה של פלנטה על מסה כלפי מטה (לכיוון מרכז הכובד של הפלנטה), וגודלו שווה למכפלת המסה במספר הנקרא g  ( שפירושו תאוצת הכובד). מסתבר, שלכל פלנטה יש g שונה. למשל, על פני כדור הארץ g=9.8  ועל הירח g=1.67. פירוש הדבר הוא, שאותה מסה תשקול פי 6 על פני כדור הארץ יחסית למשקלה על הירח. את המשקל מודדים ביחידות של כוח הנקראות 'ניוטון'. אם אותו אדם, שמסתו 60 ק"ג רוצה לדייק, עליו לומר "המשקל שלי הוא 588 ניוטונים" (60 כפול 9.8), מה שיהפוך אותו לתימהוני, ולכן השגיאה המושגית הזו כה מושרשת, עד שבחיי היום יום, גם פיזיקאי מדופלם ישתמש ב-'משקל' במובן של מסה.

אך כאן הבלבול לא הסתיים. נדמיין כעת אדם השקוע במים, כך שגופו 'מרחף'. מה משקלו? למעשה, הכוח שבו מושך אותו כדור הארץ לא השתנה, אבל אילו היה נעמד על מד-משקל, הוראת המכשיר הייתה בקירוב אפס. הגורם שמאזן את כוח הכבידה במקרה זה הוא כוח הציפה שמוגדר על ידי חוק ארכימדס כ-"משקל הנוזל הנדחה על ידי הגוף". הנקודה החשובה היא, שקיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

נבחן סיטואציה נוספת. כאשר מעלית מתחילה לעלות (בתאוצה), אנו חשים את כפות רגלינו נלחצות לרצפה. למעשה, ה-'משקל' שלנו גדל. כאשר המעלית עוצרת בקומה העליונה, ההפך מתרחש, ה'משקל' פוחת, ולשבריר שנייה אנו מרגישים קלים יותר. במקרה קיצוני יותר, אם המעלית תיפול בנפילה חופשית, משקל נוסעיה בעת הנפילה יהיה אפס שכן הם פשוט ירחפו באוויר.  למעשה, האסטרונאוטים החווים חוסר משקל בחללית הסובבת את כדור הארץ, נופלים כל העת כלפי מטה תוך כדי תנועה קדימה (כך נשמר המסלול המעגלי).  גם כאן קיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

מצב דומה קשור לסיבוב כדור הארץ. היות שגוף הנמצא על קו המשווה מסתובב מהר יותר מגוף הנמצא סמוך לקטבים, הרי שעל גוף זה פועל (מנקודת מבטו) כוח צנטריפוגלי גדול יותר כלפי מעלה, ולכן 'משקל' של קילוגרם תפוחים בקו המשווה יהיה קטן מעט מזה של אותו קילוגרם באלסקה. ההפרש אמנם זעיר אך, שוב, גם כאן קיים פער בין הכוח שבו הגוף נמשך מטה לבין מה שמראה מד המשקל.

שלוש הדוגמאות מראות לנו שיכולים לפעול כוחות שונים ומשונים שלא תמיד אנו מודעים להם, וגם אם כן, לא קל לחשב אותם ולקזזם ממה שמראה מד-המשקל. מכאן, שנחוצה הגדרה ישירה ואופרטיבית של 'משקל', והנה היא לפניכם:

משקל גוף הנו הערך שמורה מד-המשקל.

וכעת (סוף סוף) נחזור לברזל ולנוצות.
על אף שבדרך כלל איננו חשים בכך, גם באוויר פועל כוח ציפה. אי לכך, הערך שמורה מד המשקל יהיה תמיד קטן מהמשקל בוואקום (ללא אוויר) היות שהציפה באוויר מפעילה כוח כלפי מעלה. בניסוח מקוצר: משקלו באוויר של גוף יהיה קטן ממשקלו בוואקום. במה תלוי ההפרש? על פי חוק ארכימדס, הדבר תלוי  במכפלה של נפח הגוף, צפיפות האוויר ותאוצת הכובד. בפועל, כוח הציפה גדל עם נפח הגוף.

קילוגרם ברזל תופס פחות נפח מקילוגרם נוצות (כרית גדולה), ולכן כוח הציפה הפועל עליו קטן יותר. מכאן, שמשקלו של קילוגרם ברזל (במובן שאותו הגדרנו) יהיה קטן יותר ממשקלו של קילוגרם נוצות!  מובן, שאילו היינו שואבים את האוויר, המשקלים היו משתווים, כפי שמדגים ניסוי יפה:

למי שמתעניין, ניתן לחשב את הפרש המשקל נאמר, בין טון ברזל וטון עץ. הצפיפות של ברזל גדולה  פי 10 בקירוב  מזו של עץ, ולכן הברזל יתפוס נפח הקטן פי 10. על פי חוק ארכימדס, גם כוח הציפה שיפעל עליו יהיה קטן פי 10 ולכן הוא ישקול יותר. כמה חבטות על המחשבון מביאות אותנו להפרש השקול ל-1.5 קילוגרם – בהחלט משהו שניתן למדוד.

לסיכום, בצעירותך (עד כיתה בית  בערך) נראה לך הגיוני שקילו ברזל שוקל יותר מקילו נוצות (קוראים לזה כשל צירופיות). אתה גדל קצת, ומבין ש-"קילו זה קילו" וצוחק על כל מי שחושב אחרת. אבל רק אחרי שלמדת פיזיקה, אתה יודע שקילו ברזל שוקל יותר מקילו נוצות, ומגיע לשלוות דעת. מהלך זה מזכיר לי פואמה בודהיסטית (בתרגום חפשי)

בטרם חיפשתי סאטורי (הארה), ההרים היו הרים והנחל היה נחל
בעת שחיפשתי סאטורי, ההרים היו לנחל והנחל היה להרים
לאחר שזכיתי בסאטורי, ההרים היו הרים והנחל היה נחל.

קישורים
משקל – מתוך ויקיפדיה (כתוב היטב)
עוד על נפילה חופשית בפיזיקה עם פולישוק
על חוק ארכימדס בנוזל כתבתי כאן, ועל חוק ארכימדס בגז כאן.

"בכל עת בה אנו עוברים מן הנודע אל הלא נודע – אנו מקווים להבין, אך ייתכן שנצטרך במקביל ללמוד משמעות חדשה למילה 'הבנה'" – וורנר הייזנברג

מהי הבנה? למה אנו מתכוונים באומרנו "הבנתי"?  המילה 'הבנה' קשורה לבינה אך גם מזכירה 'בניה' ו-'הבנייה'. כאשר אנו מבינים, דבר מה 'נבנה' בהכרתנו, וכמו בבנייה פיזית, יש כאן תהליך; פיסות מידע שהיו נפרדות מתחברות ומקבלות מובן חדש, והרֶאִיָה החדשה שלהן היא תוצר ההבנה. למשל, קריאת השורות הללו, יכולה לגרום לך, הקורא,  להבין בדרך חדשה את המושג 'הבנה'.

המקבילה באנגלית מאירה היבט נוסף. 'To understand' פירושו 'לעמוד מתחת'. מה הכוונה? כאשר ברצוני להבין משהו חדש, עלי (באופן ציורי) לעמוד מתחתיו, ובכך לחבר אותו לדברים שאני כבר יודע. אם כן, להבין פירושו לא רק לִבנוֹת, אלא גם לחבר את מושא ההבנה לתשתית קודמת של דברים מובנים. זו הסיבה שכאשר מסבירים משהו לקבוצת אנשים, כל אחד 'מבין' באופן שונה ויש כאלו שלא 'מבינים' כלל.

כאשר מביט מדען בכוכבי השמיים, יש לו תחושה שהוא מבין את מה שהוא רואה, מכיוון שהוא מקשר את מראה עיניו לידיעותיו באסטרונומיה ובפיזיקה. מהלך הירח בשמים, למשל,  הינו ביטוי לתנועה היחסית בין גרמי השמיים בהתאם לחוקי התנועה והכבידה. לעומת זאת, כאשר כֹהֶן מצרי קדום התבונן באותם כוכבים, ה-'הבנה' שלו הייתה מבוססת  מן הסתם על סיפורי מיתולוגיה. במקרה זה, תנועת הירח היא ביטוי למהלך מלכותי של אחד האלים ברקיע, או משהו בסגנון זה. גם המדען וגם הכֹהן  'מבינים', שניהם חווים את אותו סיפוק נפשי, אך כל אחד מגיע להבנה בדרך שונה. שניהם חווים אותה תחושת  "א-אה" שבבסיסה קורת רוח על כך  שתפיסת עולמם הפכה קוהרנטית ומובנית יותר. הסיפוק שבהבנה מבטא בטחון גדול יותר בקיום שלנו, ובכך שהעולם, בסופו של דבר, אינו אקראי ושרירותי כפי שאולי נדמה במבט שטחי.

ניתן גם לחשוב על 'הבנה' כסוג של קפיצה קוונטית. בדומה לאלקטרון המדלג מרמת אנרגיה אחת לאחרת מבלי לעבור 'באמצע', כך גם ההבנה מופיעה בבת אחת וללא שלבי ביניים. אגב, לא מדובר במטפורה בלבד. ישנן ראיות רבות לכך שהמוח מתפקד בהיבטים רבים כמכשיר מדידה מָקרוסקופי לתופעות קוונטיות מִיקרוסקופיות (Zohar 1990). בהיבט זה, ניתן למצוא דמיון רב בין הבנה, השראה, הומור ויצירתיות, ואכן, הבנה היא ביטוי של יצירתיות (במובן הרחב) שכן במהותה היא יצירת  קשר (או גשר) חדש בין מה שלכאורה נתפס כהיבטים נפרדים של המציאות.

יש הסבורים שבכדי להבין, או לגרום למישהו אחר להבין, יש 'להסביר' לו בצורה מאוד ברורה (אולי כמה פעמים) ואז תיווצר במוחו 'הבנה' כתוצר של תהליך מכאני-פורמלי. גישה מזיקה זו נפוצה למדי בבתי ספר, ותוצאותיה המתסכלות מוכרות בייחוד בתחום המתמטיקה. האמת היא, שהתלמיד המצוי אינו מסוגל 'להבין' (לקלוט, לתפוס) לא בשל 'טיפשות' אלא כי לרוב הוא חסר את התשתית המתמטית שאליה הרעיון החדש אמור להתחבר והסברים, כמובן, לא עוזרים במאום. אך גם אילו הייתה לו התשתית, ההבנה לא הייתה מתרחשת באופן אוטומטי ודטרמיניסטי. יתרה מזאת,  הסיכויים להתרחשותה הולכים ופוחתים בתנאים של לחץ, תסכול ועוינות – לתשומת לבם של המורים.

המחנך הסופר וההוגה ג'ון הולט התחבט רבות בנושא ההבנה, בעיקר מתוך ניסיון להבין מדוע ילדים אינם מצליחים ללמוד כראוי בבית ספר, וכיצד לשנות את דרכי ההוראה על מנת שיתאמו את כישוריהם הטבעיים. ספרו 'כיצד נכשלים ילדים' (הוצאת מסדה, 1974) הוא ספר חובה לכל מורה באשר הוא, וכן ספרו המופתי 'כיצד ילדים לומדים' (לא תורגם לעברית). רבות מתפיסותיי עוצבו דרך קריאת ספריו של הולט, ולכן אסיים בציטוט מתוך 'בלמידה מתמדת' (הוצאת פראג, 2004) המאפיין את גישתו המשלבת פשטות מעשית ועמקות:

כאשר איננו מבינים משהו, יכולים להיות לכך שלושה הסברים. ראשית, יכול להיות ששמענו מילה או מילים , או ראינו סימן, שאיננו יודעים למה הוא מתייחס. לדוגמא, המילה "כלב" מתייחסת לחיה שעירה בעלת ארבע רגליים, בדרך כלל עם זנב. אם אף פעם לא ראיתם כלב, ומישהו מזכיר את המילה במהלך שיחה, תרגישו מבולבלים במקצת. אילו הייתם אסקימוסים, ומישהו היה מזכיר ג'ירפה (אינני יכול להעלות בדעתי מדוע), שוב הייתם מרגישים מבולבלים. אם הייתם גרים בצפון הרחוק, היה קשה מאוד "להסביר" לכם מהו עץ; או מהו הר, אם הייתם גרים בטונדרה שטוחה. אנשים שמימיהם לא ראו שלג, אף על פי ששמעו עליו או אפילו ראו תמונות שלו, נדהמים בדרך כלל כאשר הם רואים את הדבר האמיתי.

אם כבר ראיתם חיות כלשהן – סוס או חתול, לדוגמא – הייתי יכול להסביר לכם מהו כלב די בקלות, הייתי אומר שהו קטן יותר מסוס, בערך בגודל של חתול או גדול ממנו, בעל ארבע רגליים, ראש וזנב. אם מעולם לא ראיתם חיה בעלת ארבע רגליים, יהיה קצת יותר קשה להסביר איך חיה כזו נראית. אפשר אולי לצייר אותה [...]

מכשול שני בדרך להבנה הוא לשמוע דבר אחד ואחר כך לשמוע דבר אחר הנראה סותר את הראשון. אם היו אומרים לכם שברווזים עפים באוויר, ושצבי מים חיים במים, ואחר כך הייתם שומעים מישהו אומר שצב מים תפס ברווז (דבר שאכן קורה), הייתם מתבלבלים. איך ייתכן הדבר? מישהו יצטרך לספר לכם שברווזים נמצאים חלק מהזמן במים, ואז תבינו.

בעיה שלישית בהבנה היא הקושי במציאת קשר. כאשר מישהו אומר לנו משהו שנראה הגיוני, ואז אומר דבר אחר שנראה הגיוני, לעיתים קשה לנו להבין איך הדברים קשורים זה לזה. אם מישהו אומר לנו משהו שאנו חושבים שאנו מבינים,אבל הוא לא נראה כמתקשר לשום דבר, אנו חושבים "למה אתה אומר לי את זה?"

הידיעה כיצד ההבנה פועלת יכולה לעזור לכל מי שמנסה ללמד או להסביר משהו למישהו אחר [...] כאשר תלמיד אומר למורה "אני לא מבין" – קשה למורה לעזור לו. אם ילדים נראים מבולבלים, בקשו מהם לתאר את הנושא או המצב כפי שהם מבינים אותו, כך שמקור הבלבול יצוץ בסופו של דבר. ככל שנדייק בתיאור הדבר שמבלבל אותנו, כך יהיה קל יותר למישהו אחר לפתור את הבלבול.

בִּתִי הַקְּטַנָּה
עַל גַּבָּה בַּמִּטָּה
פְעוּרַת פֶּה וּמַבָּט
בֻּבּוֹת מְחַיְּכוֹת
חָגוֹת מֵעָלֶיהָּ
לו רַק יָכְלָה -
הָיְתָה מְדַבֶּרֶת

מוּל שָׁמַיִם זְרוּעִים
עַל גַּבִּי בַּמִּדְבָּר
פְעוּר פֶּה וּמַבָּט
רִיבוֹא כּוֹכָבִים
חַגִים מֵעָלַי
לוּ רַק יָכֹלְתִּי -
הָיִיתִי נאלם.

מהו סוד היציבות של הרקדנים? מדוע בדיוק בתנוחה המסוימת הזו אין הם נופלים?

מדוע הבקבוק ומחזיק העץ אינם נופלים?

מסתבר, שיש עקרון פיזיקלי מדויק המבהיר מדוע מושגת יציבות בשני המקרים, אך ראשית יש להבהיר מושג מפתח הנקרא 'מרכז הכובד' (או 'מרכז המסה' שמשמעותו דומה אך לא זהה). מרכז הכובד, באופן אינטואיטיבי הוא  ה-'ממוצע' של הגוף. במידה והגוף סימטרי לחלוטין, מרכז הכובד יהיה בדיוק במרכז. כאשר אין סימטריה, מרכז הכובד יטה לאזורים 'הכבדים' יותר. למשל, ראשו של הילד גדול יחסית (בהשוואה לשאר גופו) ורגליו אינן שריריות, לכן מרכז הכובד שלו יהיה גבוה יחסית לזה של המבוגר. מעניין לשים לב שגוף האדם הנו סימטרי בקירוב, ולכן מרכזי הכובד של כל הדמויות יהיו על ציר הסימטריה האורכי.

מכיוון שמרכז הכובד (Center of gravity) הינו נקודה המחושבת באופן מתמטי (כממוצע משוקלל, למי שמתעניין), אין מניעה שהוא יהיה מחוץ לגוף, והוא גם אינו מזוהה עם מיקום ספציפי כגון טבור או סרעפת. הרמת ידיים, למשל, תגרום למרכז הכובד לעלות כלפי מעלה מכיוון שכעת, חלק גדול יותר של מסת הגוף מרוכזת בחלק העליון.

החשיבות העצומה של מרכז הכובד היא שהיא מאפשרת להתייחס לגוף מורכב,  בהרבה היבטים פיזיקליים,  כאילו הייתה מסתו מרוכזת בנקודה אחת, דבר המפשט באופן ניכר את הניתוח של תנועתו במרחב (כתבתי על כך בהקשר של יציבות  חיצי הטלה).

בחזרה לרקדנים ולמחזיק היין. כעת אנו יכולים לנסח את העיקרון הפיזיקלי:
על מנת שגוף יהיה יציב, על מרכז הכובד שלו להיות מעל בסיס התמיכה.
(בתנוחת עמידה, למשל, בסיס התמיכה הוא כפות הרגליים והשטח שביניהם. בסיס של  ספר יהיה השטח הבא במגע עם השולחן, ובסיס התמיכה של השולחן יהיה המלבן המקיף את רגליו).

מרכז הכובד של הרקדן אינו נמצא מעל בסיס התמיכה שלו (כפות רגליו) ולכן הוא אמור ליפול. באופן דומה, מרכז הכובד של הרקדנית אף הוא לא נמצא מעל בסיס התמיכה שלה (כפות רגליה), אבל – מרכז הכובד המשותף של הזוג, נמצא מעל לבסיס התמיכה המשותף, כלומר כפות רגליו של הרקדן ולכן ביחד מושגת יציבות! יש כאן גם משל יפה: הגבר כשלעצמו אינו מאוזן, וכך גם האישה, אבל הזוגיות בניהם יוצרת איזון שלא היה קיים עבור כל אחד בנפרד. כפי שניתן לראות, אותו ניתוח בדיוק תופס גם לגבי מחזיק היין (המקביל לרקדן) ולבקבוק היין (הרקדנית). אגב, מי שרוצה להכין מחזיק יין שכזה לבת/בן זוגו כמשל לזוגיות מאוזנת הנה הוראות.

הנה עוד דוגמה לזוגיות יפה. הגלגל הקדמי של הטרקטור כשל, ולכן בסיס התמיכה הצטמצם למשולש המחבר את שלושת הגלגלים הנותרים. הצרה היא, כמובן, שכעת מרכז הכובד של הרכב אינו נמצא עוד מעל בסיס התמיכה המוקטן! הפתרון: נשים את הגברת מאחור על מנת שמרכז הכובד החדש יזוז אחורנית והיציבות המופרת תושב.

ביל דן (Bill Dan), שהוא אמריקאי ממוצא אינדיאני, הביא את עקרון היציבות לדרגת אמנות. את הסלעים שהוא מוצא על קו החוף, הוא מסדר באופן מעורר השתאות ללא הדבקה או תמיכה חיצונית כפי שניתן לראות באתר שלו  Rock on Rock . בתמונה המצורפת משמאל, החץ הירוק העליון יוצא ממרכז הכובד של הסלע העליון, הנמצא מעל בסיס התמיכה של הסלע. החץ האמצעי, מייצג את מרכז כובד המשותף לשני הסלעים העליונים, והוא מצידו נמצא מעל בסיס התמיכה השני, בעוד שהחץ התחתון מייצג את מרכז הכובד של כל הסלעים, הנמצא מעל בסיס התמיכה התחתון. מדהים!  אגב, הוא גם מעביר סדנאות בהן לומדים איך לחוש את הרוח (Spirit) של הסלע, וכך לקבל הנחייה ישירה כיצד לאזן אותו. אינדיאני , אמרנו.

לסיום, הנה קטע חביב מתוך הסרט הצרפתי החברים של ניקולא, בו הילדים מיישמים בנוכלות את עקרון היציבות כדי להרוויח כמה פראנקים. מסתבר שהפיזיקה יכולה להיות מעשית בדרכים לא צפויות…

ניקולא – מרכז הכובד – The best home videos are here

אני מתכוון לנסות את זה עם הבנות שלי (כיתה א) !

האתר של אן-מארי תומאס: Squishy Circuits עם עוד סרטונים, מתכונים והסברים.

"פשטות היא הסיבוך האולטימטיבי" (לאונרדו דה וינצ'י)

גשם מטפטף על חלון, טרטור מקרר, השכן מתאמן בחצוצרה, הד מכוניות מהרחוב – המרחב בו אנו חיים הנו אוקיינוס שוקק של גלי קול, שגם  בפינותיו השקטות ביותר 'מתנגן' פס קול שלא ניתן להעלימו. אבל מה הם בעצם גלי קול, וכיצד הם נוצרים? האם יש מכנה משותף לכל הקולות, בין אם הם נעימים או צורמים, חזקים או חלשים?

לאונרדו דה-וינצ'י היה כנראה הראשון ששיער שהמקור של כל קול, רעש או צליל הוא ויברציה: משהו היכן-שהוא רועד, רוטט, מתנועע.  אותה רעידה מזיזה את האוויר הסמוך, שמזיז את האוויר הסמוך אליו….וכך הלאה במעגלים הולכים וגדלים עד לאוזן הקולטת (ראה אנימציה). מה שעובר הוא התנועה או האנרגיה, ולא האוויר עצמו – וזו התכונה הבסיסית של גל בהיבט הפיזיקאלי. קל לראות את מיתר הגיטרה רוטט או לחוש עם היד את הרעד שמיצרים מיתרי הקול, אך האם 'השערת הויברציה' נכונה במקרה של משטח מתכתי ?  ניסוי פשוט יוכיח שכן: כאשר נכה על גונג או מצילה, ואז נתפוס בחזקה את המתכת משני צדדיה, הצליל ייחתך מיד. אכן, הפסקת התנודה קוטעת את יצירת גלי הקול.

לאונרדו דה-וינצ'י  1452–1519

תחת השפעת חוש הראייה עולה הרושם שהעולם שסביבנו  יציב וקבוע, אך במציאות הוא ברטיטה מתמדת. אכן, איננו מסוגלים לראות רטט מהיר וזעיר, אך אנו בהחלט יכולים לשמוע אותו!  (לא מדובר כאן על הרטט התרמי הנובע מטמפרטורת הגוף, אלא על תנודה גסה יותר). לדוגמה, כאשר אנו חובטים על השולחן נשמע קול, אך לא נראה שדבר מה רוטט. למעשה, פני השולחן מתנועעים, אך משום שהרטט מרוסן בחוזקה מתקבל צליל קצר ועמום. לעומת זאת, חומרים אלסטיים שתנועתם אינה מוגבלת, ישמיעו צליל מתמשך ובהיר יותר.  מוזר לחשוב על מוצקים כישויות רוטטות, אך מצלמה מהירה ביותר, מהסוג המשמש בתוכנית Time Warp,  מאשרת באופן חד-משמעי את תובנותיו של דה-וינצ'י.

בסביבתו של גוף רוטט נוצרת תנועה מחזורית של מולקולות גז המתפשטת במרחב כגל. במקום בו הגל חולף, לחץ האוויר עולה זמנית ואז מיד יורד, ממש כשם שגלים בים מעלים ומורידים במחזוריות את מפלס המים. האוזן הינה מד לחץ רגיש המסוגל לתרגם את השינויים הללו לסיגנלים חשמליים זעירים המולכים דרך עצב השמיעה אל המוח, וזה המקום בו הם מקבלים משמעות קוגניטיבית ('אה, דפיקה בדלת'). אגב, היותה של האוזן מד-לחץ מורגש בירידה למקומות נמוכים (לחץ אוויר גבוה) או עליה למקומות גבוהים (לחץ אוויר נמוך).

קולן רוטט יוצר שינוי לחץ מחזורי המתפשט כגל

כלב נובח בלילה, גורם לנו להתעצבן, אך אם נחשוב על כל שרשרת השינויים המתחוללים במרחב בשבריר שנייה  – החל מרטיטת מיתרי הקול של הכלב, דרך התפשטות גל הלחץ באוויר ועד הפענוח של הסיגנלים החשמליים במוחנו, והמשמעות שהם מקבלים – אין ספק שנזכה לחוויה מזככת שתקל עלינו לחזור למיטה בשלווה. ובאותו הקשר, דיונים מטאפיזיים רבים נקשרו בשאלה המפורסמת שהגה הפילוסוף ג'ורג' ברקלי : "אם עץ נופל ביער, ואין איש (כלומר אין שום יצור חי) שישמע אותו, האם הוא בכל זאת משמיע קול?" לעניות דעתי, אין מדובר כאן בשאלה אמיתית, אלא בעניין סמנטי גרידא: למה אנו מתכוונים במילה 'קול' ? אם הכוונה היא לרטט המועבר כגל לחץ באוויר, אזי התשובה לשאלה היא 'כן' ואילו אם כוונתנו למשמעות הקוגניטיבית הנוצרת במוח, אזי התשובה היא 'לא', ויסלח לי ברקלי אם פספסתי פה משהו.

לאונרדו דה וינצ'י יישם את רעיון הויברציה גם לעולם החרקים. עד לתקופתו, הסברה המקובלת הייתה שהחרקים משמעים קולות מפיהם (1), וזו סברה – איך לומר בעדינות – מאוד לא הגיונית. ניקח כדוגמה את הדבורה. אמנם בסיפורי הילדים, הדבורה החביבה פוצחת בזמזום המהווה חלק בלתי נפרד מאופייה החינני, אך במציאות הביולוגית, אין דבר מסוכן יותר עבור חרק זעיר (=מנת חלבון עסיסית) מלהשמיע סיגנל רציף המסמן לטורפים בכל רגע היכן הוא נמצא. יותר סביר להניח, שזמזום הדבורה מופק בעל כורחה, ובניגוד גמור לאינטרס השרידה שלה. אבל מה יכול לגרום לצליל זה? לאונרדו, אמן ההתבוננות הקפדנית, שיער שהנפנוף המחזורי של כנפי הדבורה (ושל חרקים רבים אחרים) הוא מקור הויברציה המחוללת את גלי קול.  בפעם הבאה שיתושה תזמזם באוזניכם, זכרו שנפנוף כנפיה הוא המציל אתכם מעקיצה, ואילו יכלה לוותר על הזמזום היא הייתה עושה זאת בשמחה.

הדבורה מאיה – רעיון יפה, אבל לא עובד במציאות

הבה נראה כעת כיצד לשדרג את לאונרדו לעידן הדיגיטאלי. האתגר יהיה, לגלות את תדירות נפנוף כנפיה של דבורה רק מתוך קובץ הקול של הזמזום!  לצורך כך, נעזר בתוכנה חופשית לעיבוד גלי קול (למשל WavePad או Audacity) שלתוכה נטען את קובץ הזמזום (3). מכיוון שהדבורה מנפנפת בקצב אחיד, נוכל לזהות בתבנית הגל יחידות החוזרות על עצמן, שכל אחת מהן מייצגת חבטת כנף יחידה. תדר הנפנוף יהיה אחד חלקי פרק הזמן של נפנוף בודד. צרפתי הדרכה לטובת מי שירצה לנסות בעצמו:

והנה הנפנוף בקצב של 5000 תמונות בשנייה, מוקדש לגאון הרנסאנס שהקדים את זמנו.

קישורים והערות
1. המדע של לאונרדו / פריטיוף קפרה בהוצאת דביר (המקור באנגלית)
2. סקירה מקיפה על לאונרדו והישגיו בבלוג של ד"ר גלי ויינשטיין
3. לסקרנים: ניתן לטעון לתוכנה מגוון של קבצי קול ולנתח אותם. למשל: מסוק ממריא (מה תדר סיבוב הרוטור?), מנוע של רכב (מה הסל"ד?) , מכסחת דשא, פופקורן במיקרו ועוד. את ההקלטות ניתן לבצע בקלות בעזרת רוב הטלפונים הסלולריים או להוריד ישירות  דגימות קול מהאינטרנט. אם מצאתם משהו מעניין – אנא צרפו לינק בטוקבק.

הנה ההרצאה עומדת להתחיל –  אורות מעומעמים, רחש הולך וגווע, והמרצה נעמד מוכן מול הקהל, כשמאחוריו מתנוסס שקף הפתיחה החגיגי במצגת שהכין. כמה מילות פתיחה, והשקפים מתחילים להתחלף: מלל מפותל ערוך באלף, בית, גימל, אחד שתיים שלוש, או סתם בעיגולים מושחרים. המרצה שקוע בעולמו אבל מה עם הקהל? מבט מהיר חושף פיהוקים למכביר, מבטים חטופים בשעון והתעסקות קדחתנית בסלולאריים. פה ושם יש כאלו שמתוך נימוס מקשיבים למרצה, אך מבטם הלאה והאומלל מסגיר שעמום ותסכול על זמן יקר שבוזבז.

"Lousy bullets" (עיגולים מחורבנים) – זה השם שטבע הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן בספרו  'מה אכפת לך מה חושבים אחרים?'  עבור אינספור המצגות המשמימות שבהן הולעט בנאס"א, במסגרת ניסיונותיו לחקור את נסיבות התרסקותה של הצ'לנ'ר. אין ספק ש-'תרבות המצגות' יכולה לרדד את הרמה האינטלקטואלית ולפגוע ביכולת הביצועית של ארגונים (כמו למשל הצבא האמריקאי), אבל הן כבר הפכו לחלק בלתי נפרד מעולמנו ולכן כדאי להשתמש בהן בתבונה. פעם היה צריך לעמול רבות בכדי  להכין שקפים, אך היום מדובר בעניין פשוט ודי מהנה. נכון, הטכנולוגיה היא נהדרת, אך כמו כל טכנולוגיה, התלהבות נאיבית ושימוש לא מושכל סופן תוצאות עגומות. רבים סבורים שהכנת מצגת יפה שקולה להכנת הרצאה, וזו, לדעתי, סיבה מרכזית לשעמום ותחושת חוסר האפקטיביות שמייצרות רוב ההרצאות.

כמרצה מקצועי בתחום של מדע ומדע פופולארי, עברתי גלגולים רבים ביחס למצגות ולשימוש נכון בהן (שזו דרך מכובסת להגיד שעשיתי את כל השגיאות האפשריות). מובן שישנן גישות רבות המתאימות למרצים שונים,  אך נראה לי שהתובנות שאציג  יוכלו לעזור למרצים בכל רמה ולא רק בתחום המדעי.

הדבר החשוב ביותר לזכור הוא שהרצאה היא סוג של מופע. יש מסר שצריך לעבור, אבל אין לו סיכוי לעבור ללא הגשה אטרקטיבית, כאשר לב ההרצאה הוא הדרמה והעניין שיוצר המרצה סביב הנושא. הרצאה היא מעין סיפור, וצריך שהסיפור יהיה מעניין. ישנם סגנונות שונים אבל בכולם על המרצה ליצור עניין בעזרת מלל, אינטונציות ושפת גוף. את כל זאת המצגת יכולה להעצים, אבל לעולם לא להחליף.

מובן שנחוץ בטחון בעמידה מול קהל. מרצים חסרי בטחון נוטים ל'התחבא' מאחורי המצגת: הם מעבירים שקף ואז מדברים עליו. אמנם המצגת מזכירה למרצה על מה לדבר, אבל במחיר הקהיית התקשורת עם הקהל ובלימת הזרימה. התוצאה – שעמום. הסדר הנכון הוא, מרצה בקידמה ומצגת ברקע. המרצה הוא מרכז תשומת הלב, הוא מוביל את ההרצאה בעזרת שטף דיבור, שפת גוף ואינטראקציה עם הקהל, כאשר ברקע המצגת תומכת במסר, מעצימה אותו, או מוסיפה מימד אודיו-ויזואלי. כאשר המרצה נגרר אחרי המצגת, הקהל מאבד מיקוד והולך לאיבוד.

רבות נאמר על מה צריך להיות במצגת או איך לבנות מצגת, אך לטעמי, הדבר החשוב ביותר הוא דווקא מה לזרוק מהמצגת. וכך, בהתאם להתייחסותנו אל המצגת ככלי עזר, נוכל כעת לנסח שלושה כללים חשובים:

הכלל הראשון והחשוב ביותר הוא: 'צמצם טקסט!' דיבורים והסברים מילוליים הם כלי בלעדי של המרצה, וכאשר הקהל מנסה להקשיב ולקרוא בבת אחת הוא מאבד מיקוד היות ואותו מרכז במוח עוסק בעיבוד של אינפורמציה מילולית. מסופר על רוג'ר מור, כוכב סרטי ג'יימס בונד, שהיה מגיע לסט הצילום, מרפרף על  דפי התסריט, ומוחק בנונשלאנטיות כמעט את כל הטקסט שלו.  "ג'יימס בונד לא אמור לדבר" הייתה תגובתו המחוייכת לנוכח פיהם הפעור של אנשי ההפקה. אותו דבר עם מצגות – לחתוך טקסט ללא רחמים. לכל היותר להשאיר מילת מפתח, נתון מספרי קריטי, שם מיוחד, נוסחה או תאריך חשוב. זהו. כל הסבר מעבר לזה ייעשה בעל פה.

דוגמא לשקף גרוע

בהקשר זה, הדבר הגרוע ביותר הוא 'מצגת מדברת', דהיינו, משפטים שלמים המופיעים על גבי השקף. זו טעות מרגיזה של מרצים מתחילים אשר לעיתים מגדילים לעשות בקוראם לנו את מה שכתוב במצגת! קטסטרופה. בשביל מה צריך מרצה שכזה?!  בהרצאה הבאה שלכם, שימו לב שכאשר מופיע "שקף מדבר", ניתן ממש לחוש כיצד צונחת רמת הריכוז של הקהל. מינימום טקסט (ואם ניתן, בלי טקסט בכלל)  יוצר מתח חיובי ועניין. מהי תמונה זו? מה המשמעות שלה?באופן טבעי, המאזין קשוב יותר ומרוכז כאשר הוא מפענח באופן פעיל את ההרצאה ולא מואכל בכפית.

הכלל השני הוא, שהשקפים יהיו פשוטים ומושכי עין (אסטטיים או לפעמים פרובוקטיביים) ובכל מקרה מאוד חזותיים. ההיגיון הוא, כאמור, לא לגנוב פוקוס, שכן שקף מורכב מידי גורם לקהל לאבד את המרצה ואת הסיפור שהוא מנסה לטוות בדי-עמל. אם ,למשל, אני מספר על גלאקסיות מרוחקות, מתאים שתהייה מאחוריי תמונה יפה של גלקסיית אנדרומדה. זהו. בלי מלל, ובלי עוד שבעים גלקסיות נוספות שנדחפות מהצד. אם את מספרת על הסוואנה באפריקה, שימי תמונה מרשימה של קרנף מסתער. לא יותר. מעט זה הרבה.

דוגמא לשקף בינוני

זה מביא אותנו לכלל האחרון בנוגע לכל ה'משחקים' שהתוכנה מציעה: טקסטים מסתחררים, תמונות מעופפות, צבעים מרצדים ועוד שלל פירוטכניקות.  המלצתי החד משמעית – לא להתקרב לזה. למעט מקרים יוצאי דופן, טריקים מצועצעים שכאלו רק מוזילים את איכות ההרצאה, ודורשים התעסקות של המרצה עם המצגת. המלצה זו כוללת גם שקפים המתגלים במהלך הדיבור, או שימוש בקליפארטים בנאליים מהסוג שפאורפויינט מציע בנדיבות.

לסיכום – יש לבנות את המצגת כך שתסייע למרצה ולא תייתר אותו או תגנוב ממנו פוקוס. לצורך זה, היא צריכה להיות פשוטה, אסטטית, ויזואלית, נקייה מטקסט, וכמעט ולא נעזרת בשלל הצעצועים שמייקרוסופט מציעה. בהצלחה!

דוגמא לשקף טוב

כתבתי ב-"שיר השירים של כדור הארץ" על ספרו המופלא של הזאולוג הרוסי קונסטנטין דוידוב (Davydov, Konstantin Nikolaevich, 1877-1960), שתורגם לעברית בידי המשורר אברהם שלונסקי. דוידוב עושה בספרו מה שאנשי מדע היום לא יעלו כלל על דעתם – מזיגה בין מחקר, פואטיקה, פילוסופיה, פסיכולוגיה ורוח (ועצם זה שמשורר מתרגם ספר מדע…). כך אולי היה המדע בתקופת היווונים, בטרם הונהגו המחיצות הקיימות כיום בין מדעי הטבע למדעי הרוח. אז זה היה פשוט 'פילוסופיה', או אהבת החוכמה.  מובן, שבהפרדה המודרנית יש הגיון רב, אך נדמה שמשהו אבד. אולי זו הכוליות של נשמת האדם המחפשת אחדות עמוקה בכל? אולי החיפוש, דרך המדע, אחר משמעות החיים?
הנה קטע נוסף מתוך הספר, המתאר את נדידת הציפורים וזיקתה המסתורית אל פנימיותו של האדם.

לשם עיון בשאלת ההשפעה העצומה, המיסטית כמעט, שמשפיעים מסעי-הציפורים על האדם, עלינו לבחון את אחד האינסטינקטים היסודיים של האדם, שהוא מן המזהירים והנעלים ביותר. הלא הוא האינסטינקט של החופש האינדיווידואלי: יצר נפסד הוא מבחינת השכל! אין הוא יכול, לכאורה, לדור בכפיפה אחת עם חוקי החברה האנושית, הוא מפריע את פעולת השכל למיכון העולם. היצר הזה מושכנו תמיד אי-לשם, למרחקים, להתנער מברק השוא של הארציות הבעלבייתית, להרחיק מן הציוויליזציה הזאת להתייצב פנים-אל-פנים אל מול הטבע!

ואני חוזר ואומר: יצר מסוכן הוא מבחינת החברה התרבותית, ואצל מרבית בני-אירופה דכאהו השכל לחלוטין. אך האם לאו דוקא בו יש לבקש את השורש של אותן המיות-הנפש הנבוכות, שלעיתים אינן מניחות לנו לחיות? הרי אצל רבים זהו אחד היצרים המזהירים והנעלים ביותר: הוא מושכם פעם-בפעם לנטוש את הכל, להיות ציפורי-דרור, בלא דאגות ליום מחר, וללכת למקום שהעיניים מוליכות אותם. וכי לא אמת היא, כי עצם התשוקה לחופש-הפרט עולה לעיתים קרובות עם יסוד הנוודות?

אכן, במאווים הנוודיים האלו של הנשמה יש לבקש, כמדומה לי, את ההסבר להשפעה, הידועה כל כך לכולנו, שמסעי הציפורים משפיעים על הפסיכיקה האנושית. מי מאתנו לא הרגיש אותה עצבות צובטת-לב בטוס מעל ראשינו, ברומו של רקיע, כטובעת בתכלתו של יום סתווני בהיר, סיעת העגורים הצווחים נכאים, או בחלוף מעלינו להקת אווזי-הבר, המשפילה לעוף סמוך לארץ ומגעגת לה בקצב? ברגעים אשר כאלה, מי מאתנו לא חש בחביוני-נפשו תשוקה עזה לעוף אחרי הלהקות הללו לאותם מרחקי התכלת שאין להם סוף, אל אותה ארץ-פלאים "בת בלי שם ובלי טריטוריה"? ובלבו של מי לא פעם ברגעים אשר כאלה רגש של עצבות עמוקה, עצבות שלא מדעת, כמין צער על אבידה שאינה חוזרת? ההבינותם אותה שעה, כי געגועים הם, המתחוללים בנפשיכם פנימה על השמיים האבודים, שקולותיהם חיים תמיד בנפשנו "נעוות המרדות", אלא שבדרך כלל אין אנו שומעים אותם, אין אנו יודעים את מציאותם?
….
יודע אני כי "המפוכחים" שבחוקרי הטבע יהתלו בי, אך אין לי שום ספק, כי ברגעים הללו מרגישה פתאום נשמתו של האדם התרבותי אילו קולות קוראים מימים קדמונים – רחוקים כל כך, נשכחים משכבר, אך לפתע פתאום נעשים כל-כך קרובים לנו, כל כך שליטים בנו. הרגעים הללו הנם כאלומה של קרניים טמירות, פלאיות, אשר באורן המגי מתעוררת נפשנו וקמה לתחיה. וכי אפשר שלא יהיה כן? וכי רק "סיעה של ציפורים" היא הטסה מעל לראשנו? הרי זרם איתן הוא הנישא על-פני הארץ, השוטף את הכל והופכו על פיהו – זרם של אנרגיה נפשית, של השראה פנימית, הגורפת את הכל בהסתערותה הסטיכית. אין ללמוד, לנתח או לאזן את האנרגיה הזו – זהו כוח איתנים.

"ואלו מסעי הציפורים", עמודים 37-38

"התבונה אומרת לי שאני כלום; האהבה אומרת לי שאני הכול – ובין שתי אלו זורמים חיי."
- ניסרגדאטה מהראג'

נתבונן בכף היד. יכולת ההפרדה של העין האנושית מוגבלת למדי, לכן לא נראה היטב פרטים קטנים מסנטימטר. זכוכית מגדלת תחשוף מרחקים של מילימטר אך מיקרוסקופ יעזור לנו לצלול לתחום של מיקרונים. מיקרון הוא מיליונית מטר או אלפית של מילימטר –  זהו בקירוב קוטר של חיידק או תא, ואפשר רק לדמיין את תדהמתו של לוונהוק, ממציא המיקרוסקופ, כאשר נחשף לעיניו לראשונה העולם המופלא הנחבא בטיפת מים.

אך הטכנולוגיה מאפשרת לנו להמשיך את המסע למחוזות זעירים אף יותר . מיקרוסקופ אלקטרונים יכול להציג עולם של ננומטרים בודדים (ננומטר הוא מיליארדית המטר, או מיליונית מילימטר) – זו כבר אינה רמה ביולוגית, אין כאן יצורים חיים אלא רק אבני בניין: מולקולות גדולות, DNA, חלבונים וכיוצא בזה. את הצעד האחרון למעמקי החומר עושה מיקרוסקפ-מינהור-סורק המאפשר לצפות באבני הבניין של מולקולות – האטומים עצמם! (הנה כמה דוגמאות). קוטרו של אטום פחמן הוא אנגסטרם אחד, כלומר עשירית ננומטר. מתחת לגודל זה, יכולה לקחת אותנו רק הפיזיקה התאורטית. קוטר גרעין האטום הוא  בקירוב אחד חלקי עשרת אלפים מקוטר האטום, ועדיין לא הגענו לתחתית החבית. הגודל המדיד הקטן ביותר הוא עשר בחזקת מינוס 18, כלומר 0.000000000000000001 מטר (שבעה עשר אפסים אחרי הנקודה).

מסע דומה אפשר לעשות אל עבר הגדול ביותר: נדמיין שאנו עולים מעלה מהבית לרחוב, לעיר, למדינה, ליבשת, לכדור הארץ, למערכת השמש… וכך בכל צעד מרחיבים את התחום הנראה פי 10 או בסדר גודל אחד. לאן ייקח אותנו מסע זה? מסתבר שרוב היקום ריק כמעט חלוטין – הצפיפות הממוצעת של החלל היא אטום אחד לסמ"ק, מציאות המזכירה מאוד את החלל השורר בתוך האטום עצמו. ובכל זאת, כעבור 21 צעדים נוכל לראות את כל הגלקסיה שלנו בתפארתה, ומעבר אליה, במרחקים בלתי נתפסים, עוד מאות מיליארדים של גלקסיות נוספות שכל אחת מכילה מאות מיליארדים של שמשות ופלנטות. היקום הנראה נפרש למרחק של עשר בחזקת 26 מטרים, כלומר אחד ועשרים ושישה אפסים אחריו. זהו המרחק שהאור עושה במשך כ-20 מיליארד שנים.

הגלקסיה השכנה – אנדומדה – 2.5 מליון שנות אור מכאן

הסרט התעודי המרשים Cosmic Voyage ('המסע הקוסמי') מנסה להמחיש את סדרי הגודל של היקום, כאשר ברקע נשמע קולו הקטיפתי של מורגן פרימן (האחריות לתרגום היא שלי).

האדם נמצא באמצע, בין הגדול לקטן ביותר. מצוייד בחושיו, אין הוא מסוגל להיות מודע אלא למנעד מצומצם ביותר של הבריאה. האינטואציה האנושית הטבעית מושתתת על תחום צר ביותר של התנסויות, ולא תמיד ניתן להכיל אותה על הדברים הגדולים מאוד או הקטנים מאוד, גם אם הטכנולוגיה מרחיבה מאוד את תחום החשיפה של החושים. זו אחת הסיבות שכה קשה להבין את המציאות הקוואנטית הנוגדת באופן חזיתי את השכל הישר.

ברמה האישית, ההכרה שאני כה קטן חסר השפעה, עוזרת  לשים בפרופורציה נכונה את הדברים 'הרי הגורל' שכה קל לדאוג בגללם. מאידך, היא עלולה להביא ליאוש ניהיליסטי ולתחושה שאין לחיים משמעות. הציטוט מפי המורה ההודי שבפתיח מציע, בעיני,  פתרון לדואליות זו. ניתן לפרש את התבונה כהבנה המדעית (החומרית) השמה את האדם במקום מאוד מצומצם ביקום. אך התבונה אינה כל מהותו של האדם – קיימת גם אהבה, שהינה ביטוי לרוח שאינה תלויה בחומר (ולכן אין למדע נגישות אליה) והיא זו הנותנת משמעות ותכלית לקיום האנושי המצומצם והחלופי.

קישורים
הגרסה הראשונה למסע הקוסמי
המסע הקוסמי – גרסת הסימפסונס
אבק כוכבים
שירה רצון ואבולוציה דרך שירו של מאיר אריאל
Nisargadatta Maharaj